2012高考数学冲刺算法初步与复数易错点试题（附答案）
详细内容
算法初步与复数
一、高考预测
算法是新课标高考的独有内容，从近年来课标地区的高考看，这是试卷中一个必备的试题，试题以选择题或填空题的方式出现，主要考查程序框图和基本算法语句．预计2012年变化不大．复习算法要抓住如下要点：一是程序框图的三种基本逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构和循环结构，搞清楚这三种基本逻辑结构的功能和使用方法，特别要注意循环结构的功能和使用方法，在复习时建议结合具体题目掌握好一些常见的计算问题的程序框图，如二分法求方程近似解的程序框图、一些数列求和的程序框图、一元二次不等式解的程序框图等；二是理解基本算法语句的含义，搞清楚条件语句与条件分支结构的对应关系、循环语句与循环结构的对应关系，在此基础上学会对一些简单问题的程序编写．
复数是高考的一个考点，主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般是一个选择题，位置靠前，难度不大．预计2012年会继续这个考查风格．复数的内容就是概念、运算和简单的几何意义，复习时只要把概念弄清，运算法则掌握好，并把复数和向量的关系弄清楚即可．
二、知识导学
2．算法是离不开具体的数学问题的，算法试题往往要依托其他数学问题来实现，算法可以和函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量计算等问题相互交汇．
3．复数部分的考点就是复数的概念、复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算，其考查带有综合性．要注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．
三、易错点点睛
命题角度 1 复数的概念
2． z= 的共轭复数是 （ ）
A． + i B． - I C．1-i D．1+i
[考场错解] 选C ∵z= =1+i.∴z为纯虚数为1-i
[专家把脉] z= =1+i是错误的，因为（1-i）(1+i)=1-(i)2-z≠1
[对症下药] 选B ∵z= = ∴z= 的共轭复数是 - i。
3． 已知复数z1=3+4i，z2=t+i,,且 是实数，则实数t= （ ）
A． B． C．- D．-
[考场错解] 选C ∵z1• ∈R =0。即（3+4i）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 t=- .
[专家把脉] ∵z∈R =z.z为纯虚数 z+ =0(z≠0)因此上面解答应用的是Z为纯虚数的充根条件，因而求出的t是z1 为纯虚数的结果，显然是错误的。
[对诊下药] 解法1：z1 =（3+4i）(t-i)= (3-4i)(t+i)∵z1 为实数，∴4t-3=0，t= .
解法2：∵z1 ∈R，∴z1 = ∴（3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)
（3t+4）+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i 4t-3=3-4t t= .
专家会诊1．深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示――复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点（a、b）及向量 是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。2．要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b∈R)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。
命题角度 2复数的代数形式及运算
解法2：
2．复数 的值是 （ ）
A．-16 B．16 C．- D．8-8
[考场错解] 选D。 ∵ 选D。
[对症下药] 选A。原式=
3 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
[考场错解] 选A。 由|z-i|=|3+4i|知z在复平面上对应的图形是点（0，1）和（3，4）的垂直平分线。
[专家把脉] 上面解答把条件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.这类型题应用复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R)代入计算才能确定答案。
[对症下药] 选C。设z=x+yi(x,y∈R)代入|z-i|=|3+4i|中计算得 即x2+(y-1)2=25.∴z的轨迹是表示以（0，1）为圆心，以5为半径的圆，选C。
[专家把脉] 以上解答错在两边取模的计算，因为|z1+z2|=|z1|+|z2|，只有当z1=λz2（λ∈R+）时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。
[对症下药] 原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.
设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得：x2+y2-2xi-2yi=1-3i
∴ 将（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0 (*)
∵△=-16<0,∴方程（*）无实数解。∴原方程在复数范围内无解。
命题角度 3 流程图
[例1] 已知三个单元存放了变量 ， ， 的值，试给出一个算法，顺次交换 ， ， 的值（即 取 的值， 取 的值， 取 的值），并画出流程图.
错解：第一步
第二步
第三步
流程图为
图13-1-3
S1 取一只空的墨水瓶，设其为白色；
S2 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
S3 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
S4 将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；
S5 交换结束.
点评：在计算机中，每个变量都分配了一个存储单元，为了达到交换的目的，需要一个单元存放中间变量 .
[例2]已知三个数 ， ， .试给出寻找这三个数中最大的一个算法，画出该算法的流程图.
解：流程图为
点评：条件结构可含有多个判断框，判断框内的内容要简明、准确、清晰.此题也可将第一个判断框中的两个条件分别用两个判断框表示，两两比较也很清晰.若改为求100个数中的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐，可采用假设第一数最大（最小）将第一个数与后面的数依依比较，若后面的数较大（较小），则进行交换，最终第一个数即为最大（最小）值.
点评：求和时根据过程的类同性可用循环结构来实现，而不用顺序结构.
[例3]画出求 的值的算法流程图.
解：这是一个求和问题，可采用循环结构实现设计算法，但要注意奇数项为正号，偶数项为负号.
思路一：采用-1的奇偶次方（利用循环变量）来解决正负符号问题；
图13-1-6 图13-1-7
思路二：采用选择结构分奇偶项求和；
图13-1-8
思路三：可先将 化简成 ，转化为一个等差数列求和问题，易利用循环结构求出结果.
[例4] 设计一算法，求使 成立的最小正整数 的值.
解： 流程图为
图13-1-9
[例5]任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.
解：算法为：
S1 判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2 ，则执行S2
S2 依次从2～n-1检验是不是的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.
点评：要验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析：
（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.
（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据定义，用比这个整数小的数去除n.如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.
图13-1-10
[例6]设计一个求无理数 的近似值的算法.
解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005,算法:
S1 令 .因为 ,所以设
S2 令 ,判断 是否为0,若是,则m为所求;若否,则继续判断 大于0还是小于0.
S3 若 >0,则 ;否则,令 .
S4 判断 是否成立，若是，则 之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.
点评：二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例，将在第三节中详细阐述.
命题角度 4 基本算法语句
1.下列程序的运行结果是 .
If >5 Then
If >4 Then
If >3 Then
Print
正解：这里是有三个条件语句，各个条件语句是独立的，三个条件均成立，所以按顺序依次执行，结果为8+7+6+6=27.
2.下面的程序运行时输出的结果是（ ）
While
End while
Print S
End
[例4]用语句描述求使 成立的最大正整数 的算法过程.
解：
While
End while
Print
[例5]已知当 时， ，当 时， ，当 时， ，设计一算法求 的值.
解： Read x
If then
Else if Then
Else
End if
End
四、典型习题导练
1.1、复数 的虚部为 .
【解析】： 复数 的虚部为
2、若复数 ， ，则
A． B． C． D．
3、复数 （ 为虚数单位）在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ，故选B.
4、设 （ 是虚数单位），则 A． B． C． D．
【解析】
5、巳知i是虚数单位，若 （ ），则乘积
(A) -3(B) -15(C) 3(D) 15
【解析】 ，所以 .答案：A
6、若 ，则
A. B. C. D.
【解析】由于 . 故选C.
8、已知 ，其中 ， 为虚数单位，则 。
【解析】将等式两边都乘 ，得到 ，两边比较得结果为4
9、现定义 其中i为虚数单位，e为自然对数的底， 且实数指数幂的运算性质对 都适用，若 ，
，那么复数 等于
A． B． C． D．
【解析】（ 其实为欧拉公示）
【答案】A
10、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A．－8 B．－2 C．－1 D．0
【解析】 ， ， ；
， ， ；
， ， ；
跳出程序．
∴ ．
【答案】B
11、在如图所示的流程图中，若输入 的值为 ，则输出A的值为 。
【解析】：经计算A值是以 为循环的，注意，当i =11时仍循环，
12的时候出来，所以有12个A值，结果为
12、在数列 ， ， ，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图2所示），
请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，
使之能完成该题算法功能. （1） ▲ （2） ▲
【解析】该算法使用了循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i的，故应为 .算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大 ，,第 个数比其前一个数大i，故应有 .故(1)处应填 ；（2）处应填
13、.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框内应填入的条件是
A. <4 B. >4 C. <5D. >5
【解析】初始值 ，第一次循环后 ，第二次循环后 ，第三次循环后 ，第四次循环后 ，因此循环次数应为4次，故 可以作为判断循环终止的条件. 故选C.
14、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】第一次下来，k=3，a=43=64，b=34=81；
第二次下来，k=4，a=44=256，b=44=256；
第三次下来，k=5，a=45=1024，b=54=625．
满足 ，故跳出程序． 【答案】C
15、执行如右图所示的程序框图，输出的S值为
A． B．
C． D．
【解析】本类题一般都是先写几个，找出一般规律，
结合数列的求和知识解答．但本类题考生一般都会容易在项数上出错．
应引起注意．k=1， S=21；k=3，S=21+23；k=5，S=21+23+25；
显然k=49程序．所以S ．
【答案】A
16、算法流程图如图所示，其输出结果是（ ）
A. 124B. 125C. 126D. 127
【命题意图】本小题考查流程图的相关知识，解题的关键在于理解算法的功能.
【解析】 的取值依次构成一个数列，且满足 ，
则求第一个大于100的 值，写出这个数列 ，
故有结果为127. 【答案】D
17、执行右面的程序框图，若输出的结果是 ，则输入的 为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】本题考查数列的知识以及框图的阅读与理解。
由算法框图可知 ，当 时，
则 ，故选B
18、下图是一个把二进制数 化成十进制数的程序框图，判断框内需填入的条件是
A. B. C. D.
【解析】 ，故选A.
20、一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 ，
则判断框内应填入的条件是
A. <4B. >4 C. <5D. >5