2012丰台区高三上册理科数学期末试卷（有答案）

详细内容

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1， }， {5，7}，则实数a的值为
(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或8
2．“ ”是“ ”的
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是
(A) (B) (C) (D)
4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是v新 课-标-第-一 -网
(A) (B) (C) 1 (D) 2
5．函数 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（ 表示不超过x的最大整数）
(A) 4(B) 5(C) 7(D) 9
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B（0,1），点C在第二象限内， ，且|OC|=2，若 ，则 ， 的值是（ ）
(A) ，1 (B) 1， (C) -1， (D) - ，1
8．已知函数f(x)= ,且 ，集合A={m|f(m)<0}，则
(A) 都有f(m+3)>0 (B) 都有f(m+3)<0
(C) 使得f(m0+3)=0 (D) 使得f(m0+3)<0
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．
10．已知直线y=x+b与平面区域C: 的边界交于A，B两点，若|AB|≥2 ，则b的取值范围是________.
11． 是分别经过A(1,1)，B(0,1)两点的两条平行直线，当 间的距离最大时，直线 的方程是 ．
12．圆 与双曲线 的渐近线相切，则 的值是 _______.
13．已知 中，AB= ，BC=1，sinC= cosC，则 的面积为______．
14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 行第 列的数为 （ ），则 等于 ， .
三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本题共13分）
函数 的定义域为集合A，函数 的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足 ,求实数a的取值范围．
16．（本题共13分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于 ， 两点．
（Ⅰ）若点 的横坐标是 ，点 的纵坐标是 ，求 的值；
（Ⅱ） 若ㄏABㄏ= , 求 的值.
17．（本题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2， ， °,平面PAB 平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;
（Ⅱ）求证：AB PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.
18．（本题共14分）
已知函数 的导函数 的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为 ，求f(x)在区间 上的最大值.
19．（本题共13分）
曲线 都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是 的短轴，是 的长轴.直线 与 交于A,D两点（A在D的左侧），与 交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
20．（本题共13分）
已知曲线 ， 是曲线C上的点，且满足 ，一列点 在x轴上，且 是坐标原点）是以 为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求 、 的坐标；
（ Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）令 ，是否存在正整数N，当n≥N时，都有 ，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
题号12345678
答案DABCDA
二、填空题：
9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12． (只写一个答案给3分)；
13． ； 14． (第一个空2分，第二个空3分)
三．解答题
15．（本题共13分）函数 的定义域为集合A，函数 的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足 ,求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）A=
= = ，..………………………..……3分
B= ． ………………………..…..7分
（Ⅱ）∵ ，∴ ， ..……………………………………………. 9分
∴ 或 ， …………………………………………………………...11分
∴ 或 ，即 的取值范围是 ．…………………….13分
16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于 ， 两点．
（Ⅰ）若点 的横坐标是 ，点 的纵坐标是 ，求 的值；
（Ⅱ） 若ㄏABㄏ= , 求 的值.
解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ． ………………………………………………………2分
∵ 的终边在第一象限，∴ ． ……………………………………………3分
∵ 的终边在第二象限，∴ ．………………………………………4分
∴ = = + = ．……………7分
（Ⅱ）方法（1）∵ㄏABㄏ=| |=| |, ……………………………………9分
又∵ ，…………………11分
∴
∴ ．………………………………………………… ………………13分
方法（2）∵ ， …………………10分
∴ = ． ………………………………… 13分
17．(本题共14分)如图，在三 棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2， ， °,平面PAB 平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（Ⅰ）求证：DE//平面PBC;
（Ⅱ）求证：AB PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．
解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，
DE//BC ．
DE平面PBC，BC平面PBC，
DE//平面PBC ．…………………………4分
（Ⅱ）连结PD，
PA=PB，
PD AB． …………………………….5分
，BC AB，
DE AB． .... .......................................................................................................6分
又 ，
AB 平面PDE．................................ ......................................................................8分
PE平面PDE，
AB PE ． ..........................................................................................................9分
（Ⅲ） 平面PAB 平面ABC，平面PAB 平面ABC=AB，PD AB，
PD 平面ABC．................................................................................................10分
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B(1,0,0)，P(0,0, )，E(0, ,0) ,
=(1,0, )， =(0, , ）．
设平面PBE的法向量 ，
令
得 ． ............................11分
DE 平面PAB，
平面PAB的法向量为 ．………………….......................................12分
设二面角的 大小为 ，
由图知， ，
所以 即二面角的 大小为 ． ..........................................14分
18．（本题共14分）已知函数 的导函数 的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求 的单调区间
（Ⅱ）若f(x)的极小值为 ，求 在区间 上的最大值.
解：（Ⅰ） ．.......2分
令 ，
因为 ，所以 的零点就是 的零点，且 与 符号相同.
又因为 ，所以 时，g(x)>0,即 ， ………………………4分
当 时,g(x)<0 ,即 ， …………………………………………6分
所以 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =-3是 的极小值点，所以有

解得 ， ………… ……………………………… ………………11分
所以 .
的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），
为函数 的极大值, …………………………………………………12分
在区间 上的最大值取 和 中的最大者. …………….13分
而 >5，所以函数f(x)在区间 上的最大值是 ．.…14分
19．（本题共13分）曲线 都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是 的短轴，是 的长轴 . 直线 与 交于A,D两点（A在D的左侧），与 交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
解：（Ⅰ）设C1的方程为 ,C2的方程为 ,其中 ．..2分
C1 ,C2的离心率相同，所以 ,所以 ，……………………….…3分
C2的方程为 ．
当m= 时，A ,C ． .………………………………………….5分
又 ,所以， ，解得a=2或a= (舍)， ………….…………..6分
C1 ,C2的方程分别为 ， ．………………………………….7分
（Ⅱ）A(- ,m), B(- ,m) ． …………………………………………9分
OB∥AN, ,
, ． …………………………………….11分
， ， ． ………………………………………12分
， ， ．........................................................13分
20.（本题共1 3分）已知曲线 ， 是曲线C上的点，且满足 ，一列点 在x轴上，且 是坐标原点）是以 为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求 ， 的坐标；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）令 ，是否存在正整数N，当n≥N时，都有 ，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ） ∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
直线B0A1的方程为y=x．
由 得 ，即点A1的坐标为（2，2），进而得 ．…..3分
（Ⅱ）根据 和 分别是以 和 为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 ．（*） …………………………..5分
和 均在曲线 上， ，
，代入（*）式得 ，
， ………………………………………………………..7分
数列 是以 为 首项，2为公差的等差数列，
其通项公式为 ( )． ……………………………………………....8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， ，
， ……………………………………………………9分
， ．

= = ．….……………..…………10分
． ……………………….11分
（方法一） - = ．
当n=1时 不符合题意，
猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有 ．（ ）
观察知 ，欲证（ ）式，只需证明当n≥2时， n+1<2n
以下用数学归纳法证明如下：
(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；
(2)假设n=k（k≥2）时，(k+1)<2k,
当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,
对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即 < 成立．
综上，满足题意的n的最小值为2. ……………………………………………..13分
（方法二）欲证 成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．
，
并且 ，
当 时， .