不等关系与不等式专项训练（附解析2015高考数学一轮）
详细内容
不等关系与不等式专项训练（附解析2015高考数学一轮）
A组 基础演练
1．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2|a|”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵a2＞2|a|，∴|a|＞2，即a＞2或a＜－2，∴“a＞2”是“a2＞2|a|”的充分不必要条件．
答案：A
2．(2013•天津高考)设a，b∈R，则“(a－b)•a2＜0”是“a＜b”的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(a－b)•a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)•a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)•a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件．选A.
答案：A
3．已知p＝a＋1a－2，q＝12x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是( )
A．p≥q B．p＞q
C．p＜q D．p≤q
解析：p＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝12x2－2≤12－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.
答案：A
4．(2013•浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则
( )
A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0
C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0
解析：∵f(0)＝f(4)＞f(1)，
∴c＝16a＋4b＋c＞a＋b＋c，
∴16a＋4b＝0，即4a＋b＝0，
且15a＋3b＞0，即5a＋b＞0，
而5a＋b＝a＋4a＋b，∴a＞0.故选A.
答案：A
5．(2014•济宁模拟)设a＞0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小关系是________．
解析：∵P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，
a＞0，∴a3－1＞0，a2－1＞0，∴a＞1.
又∵(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)＞0，
∴a3－1＞a2－1，
∴loga(a3－1)＞loga(a2－1)，即P＞Q.
答案：P＞Q
6．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.
∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|≤3.
答案：(－3,3]
7．(2014•泉州模拟)若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤ay＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x＞y，a＞b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，
∴ax＝by，因此③也不成立．
又∵ay＝3－3＝－1，bx＝2－2＝－1，
∴ay＝bx，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
8．已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.
证明：方法一：ab＋ba－(a＋b)
＝a3＋b3－a＋babab
＝a＋ba－2ab＋bab
＝a＋ba－b2ab.
∵a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0，
∴ab＋ba－(a＋b)≥0，∴ab＋ba≥a＋b.
方法二：ab＋baa＋b＝aa＋bbaba＋b＝a3＋b3aba＋b
＝a＋b－abab＝1＋a－b2ab≥1，
∵a＞0，b＞0，∴ab＋ba＞0，a＋b＞0，
∴ab＋ba≥a＋b.
9．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解：方法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得m＋n＝4n－m＝－2，解得m＝3n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
方法二：由f－1＝a－bf1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]b＝12[f1－f－1]，
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三：由1≤a－b≤22≤a＋b≤4确定的平面区域如图阴影部分，
当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，
取得最小值4×32－2×12＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.
B组 能力突破
1．(2013•广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是
( )
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
解析：由已知条件知(x，y，z)∈S，不妨设x＜y＜z①，又(z，w，x)∈S，则此时z，w，x的关系有以下两种情况：(?)当w＜x＜z时，结合①可得w＜x＜y＜z，则(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；(?)当x＜z＜w时，结合①可得x＜y＜z＜w，则(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S，故选B.
答案：B
2．(2014•西城区期末)已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③a－b＞a－b；④a3＋b3＞2a2b.
其中一定成立的不等式为
( )
A．①、②、③ B．①、②、④
C．①、③、④ D．②、③、④
解析：由a＞b＞0可得a2＞b2，①正确；由a＞b＞0可得a＞b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)＞f(b－1)，即2a＞2b－1，②正确；∵a＞b＞0，∴a＞b，
∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)＞0，
∴a－b＞a－b，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3＜2a2b，④错误．故选A.
答案：A
3．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．
解析：由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81，
又3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13，
∴2≤x3y4≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时x3y4＝27.
∴x3y4的最大值是27.
答案：27
4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a＞b＞c，求ca的取值范围．
解：∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，
∴b＝－(a＋c)，
又a＞b＞c，
∴a＞－(a＋c)＞c，且a＞0，c＜0，
∴1＞－a＋ca＞ca，
∴1＞－1－ca＞ca，
∴2ca＜－1，ca＞－2，
∴－2＜ca＜－12.