函数的单调性与最值训练题（有解析2015高考一轮数学复习）

详细内容

函数的单调性与最值训练题（有解析2015高考一轮数学复习）
A组　基础演练
1．(2013•北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝1x　　　　　　　　　　B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
解析：A中y＝1x是奇函数，A不正确；B中y＝e－x＝1ex是非奇非偶函数，B不正确；C中y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C正确；D中y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，D不正确．故选C.
答案：C
2．f(x)＝ax　　　　　　x＞14－a2x＋2 x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
解析：f(x)是R上的单调递增函数，所以可得
a＞1，4－a2＞0，a≥4－a2＋2.解得4≤a＜8，故选B.
答案：B
3．(2014•佛山月考)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是
(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
解析：由题意，a＜0且b＜0，而函数y＝ax2＋bx的对称轴为x＝－b2a＜0，且开口向下，所以它在(0，＋∞)上单调递减．
答案：B
4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)在[a，b]上有
(　　)
A．最小值f(a) B．最大值f(b)
C．最小值f(b) D．最大值fa＋b2
解析：∵f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(0)＝0，令y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是R上的奇函数．设x1＜x2，则x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝f(x1－x2)＞0.
∴f(x)在R上是减函数．∴f(x)在[a，b]有最小值f(b)．
答案：C
5．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a*b＝ab＋a＋b，a，b是正实数，已知1]　　　　.
解析：由已知k＋1＋k＝3，∴k＋k＝2，∴k＝1，
∵f(x)＝1]x)＋1＋x(x＞0)，
f(x)显然为增函数，∴f(x)＞f(0)＝1，
∴f(x)∈(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
6．(2014•台州模拟)若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
解析：画出图象易知y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，
依题意应有m≤0.
答案：(－∞，0]
7．(2013•江苏)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1x(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为________．
解析：设Px，1x，
则|PA|2＝(x－a)2＋1x－a2
＝x＋1x2－2ax＋1x＋2a2－2，
令t＝x＋1x≥2(x＞0，当且仅当x＝1时取“＝”)，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.
(1)当a≤2时，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，
由题意知，2a2－4a＋2＝8，解得a＝－1或a＝3(舍)．
(2)当a＞2时，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.
由题意知，a2－2＝8，解得a＝10或a＝－10(舍)，
综上知，a＝－1或10.
答案：－1或10
8．求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝a1－2x－x2(a＞0且a≠1)．
解：(1)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x＜0，
即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x＜0.
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令g(x)＝1－2x－x2＝－(x＋1)2＋2，
所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
当a＞1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)；
当0＜a＜1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)．
9．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a
＝ax2－x1x1－ax2－a.
∵a＞0，x2－x1＞0，
∴要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为(0,1]．
说明：本题也可利用导数证明和求解．
B组　能力突破
1．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是
(　　)
A．[1,7] B．[1,6]
C．[－1,1] D．[0,6]
解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴f(2)＝4.
又由f(x)＝－5得x＝－1或5.
由f(x)的图象知－1≤m≤2,2≤n≤5.
因此1≤m＋n≤7.
答案：A
2．函数f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m的取值范围是
(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，12] D．(－∞，12)
解析：f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间(0,1)上恒为增函数，则f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间[0,1]上恒为增函数，f′(x)＝1x＋1－m≥0在[0,1]上恒成立，m≤(1x＋1)min＝12.
答案：C
3．(2014•苏州模拟)设函数f(x)＝ax＋1x＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
解析：f(x)＝ax＋2a2－2a2＋1x＋2a
＝a－2a2－1x＋2a，其对称中心为(－2a，a)．
∴2a2－1＞0－2a≤－2⇒2a2－1＞0a≥1⇒a≥1.
答案：[1，＋∞)
4．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有fxy＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并加以证明；
(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．
解：(1)∵当x＞0，y＞0时，fxy＝f(x)－f(y)，
∴令x＝y＞0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.
(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝fx2x1，
∵x2＞x1＞0，∴x2x1＞1，∴fx2x1＞0.
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，
∵f(4)＝2，由fxy＝f(x)－f(y)，
知f164＝f(16)－f(4)，
∴f(16)＝2f(4)＝4，
∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．