2013高考导数的概念及运算复习检测（带课件）

详细内容

2013年高考数学总复习 3-1 导数的概念及运算但因为测试 新人教B版
1.(文)(2011•龙岩质检)f ′(x)是f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f ′(－1)的值是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　C
[解析]　∵f ′(x)＝x2＋2，∴f ′(－1)＝3.
(理)(2011•青岛质检)设f(x) ＝xlnx，若f ′(x0)＝2，则x0＝(　　)
A．e2　 　 　B．e　　　　C.ln22　　　D．ln2
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝1＋lnx，∴f ′(x0)＝1＋lnx0＝2，
∴lnx0＝1，∴x0＝e，故选B.
2 ．(2011•皖南八校联考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为(　　)
A．－3 B．9
C．－15 D．－7
[答案]　C
[解析]　将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.
又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，
∴b＝3－2k＝3－18＝－15.
3．(文)(2011•广东省东莞市模拟)已知曲线y＝18x2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D.12
[答案]　C
[解析]　k＝y′＝14x＝12，∴x＝2.
(理)(2011•广东华南师大附中测试)曲线y＝2x2在点P(1，2)处的切线方程是(　　)
A．4x－y－2＝0 B．4x＋y－2＝0
C．4x＋y＋2＝0 D．4x－y＋2＝0
[答案]　A
[解析]　k＝y′|x＝1＝4x|x＝1＝4，∴切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
4．(文)(2010•黑龙江省哈三中)已知y＝tanx，x∈0，π2，当y′＝2时，x等于(　　)
A.π3 B.23π
C.π4 D.π6
[答案]　C
[解析]　y′＝(tanx)′＝sinxcosx′＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x＝2，∴cos2x＝12，∴cosx＝±22，
∵x∈0，π2，∴x＝π4.
(理)(2010•黑龙江省哈三中)已知y＝sinx1＋cosx，x∈(0，π)，当y′＝2时，x等于(　　)
A.π3 B.2π3
C.π4 D.π6
[答案]　B
[解析]　y′＝cosx•1＋cosx－sinx•－sinx1＋cosx2
＝11＋cosx＝2，∴cosx＝－12，
∵x∈(0，π)，∴x＝2π3.
5．(2011•山东淄博一中期末)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　)
A．1 B.19
C.13 D.23
[答案]　B
[解析]　∵y′＝x2＋1，∴k＝2，切线方程y－43＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0得y＝－23，令y＝0得x＝13，∴S＝12×13×23＝19.
6．(文)已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f ′(x)，记A＝f ′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f ′(a＋1)，则(　　)
A．A>B>C B．A> C>B
C．B>A>C D．C>B>A
[答案]　A
[解析]　记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝fa＋1－faa＋1－a，表示直线MN的斜率，A＝f ′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f ′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.
(理)设函数f(x)＝sinωx＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝π9 B．x＝π6
C．x＝π3 D．x＝π2
[答案]　A
[解析]　f ′(x)＝ωcosωx＋π6的最大值为3，
即ω＝3，
∴f(x)＝sin3x＋π6－1.
由3x＋π6＝π2＋kπ得，x＝π9＋kπ3　(k∈Z)．
故A正确．
7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f ′(5)＝________.

[答案]　2
[解析]　由条件知f ′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f ′(5)＝2.
8．(文)(2011•北京模拟)已知函数f(x)＝3x3＋2x2－1在区间(m,0)上总有f ′(x)≤0成立，则m的取值范围为________．
[答案]　[－49，0)
[解析]　∵f ′(x)＝9x2＋4x≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x)＝0的两根为x1＝0，x2＝－49，∴－49≤m<0.
(理)设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f ′(x)，若f ′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原 点处的切线方程为________．
[答案]　y＝－3x
[解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f ′(－x)＝f ′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)
对任意x∈R都成立，
所以a＝0，f ′(x)＝3x2－3，f ′(0)＝－3，
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.
9．(2011•济南模拟)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
[答案]　－2
[解析]　点(1,1)在曲线y＝xn＋1(n∈N*)上，点(1,1)为切点，y′＝(n＋1)xn，故切线的斜率为k＝n＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得切点的横坐标为xn＝nn＋1，故a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg1100＝－2.
1 0．(文)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0. 若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.
[解析]　∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，
又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；
又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；
又函数在x＝2处取得极值0，所以
y′|x＝2＝0f2＝0即12a＋4b＋12＝08a＋4b＋20＝0
解得a＝2，b＝－9
所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.
(理)(2010•北京东城区)已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值12.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f( x)的单调性并求出单调区间．
[解析]　(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，
所以f ′(x)＝2ax＋bx.
又函数f(x)在x＝1处有极值12，
所以f ′1＝0f1＝12，即2a＋b＝0a＝12，
可得a＝12，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝12x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，
且f ′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x(0,1)1(1，＋∞)
f ′(x)－0＋
f(x)ㄋ?极小值ㄊ?
所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞).

11.(文)(2011•聊城模拟)曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.94e2 B．2e2
C． e2 D.e22
[答案]　D
[解析]　y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝1，
∴所求面积S＝e22.
(理)(2011•湖南文，7)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点M(π4，0)处的切线的斜率为(　　)
A．－ 12 B.12
C．－ 22 D.22
[答案]　B
[解析]　∵y′＝cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinxsinx＋cosx2
＝1sinx＋cosx2，∴y′|x＝π4 ＝12.
12．(文)(2011•江西理，4)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
[答案]　C
[解析]　因为f(x)＝x2－2x－4lnx，
∴f ′(x)＝2x－2－4x＝2x2－x－2x>0，
即x>0x2－x－2>0，解得x>2，故选C.

(理)(2011•广东省汕头市四校联考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f ′(x)<12，则f(x)A．{x|－1C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1}
[答案]　D
[解析]　令φ(x)＝f(x)－x2－12，则
φ′(x)＝f ′(x)－12<0，
∴φ(x)在R上是减函数，φ(1)＝f(1)－12－12＝1－1＝0，
∴φ(x)＝f(x)－x2－12<0的解集为{x|x>1}，选D.
13．(文)二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.
(理)函数f(x)＝xcosx的导函数f ′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为(　　)

[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝xcosx，
∴f ′(x)＝cosx－xsinx，
∴f ′(－x)＝f ′(x)，∴f ′(x)为偶函数，排除C；
∵f ′(0)＝1，排除D；
由f ′π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B，故选A.
14．(文)(2011•山东省济南市调研)已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f ′(1)＝________.
[答案]　53
[解析]　由题意知点M在f(x)的图象上，也在直线2x－3y＋1＝0上，∴2×1－3f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1，
又f ′(1)＝23，∴f(1)＋f ′(1)＝53.
(理)(2011•朝阳区统考)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，0)
[解析]　由题意，可知f ′(x)＝3ax2＋1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋1x＝0⇒a＝－13x3(x>0)⇒a∈(－∞，0)．
15．(文)(2010•北京市延庆县模考)已知函数f(x)＝x3－(a＋b)x2＋abx，(0(1)若函数f(x)在点(1,0)处的切线的 倾斜角为3π4，求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，求f(x)在区间[0,3]上的最值；
(3)设f(x)在x＝s与x＝t处取得极值，其中s求证：0[解析]　(1)f ′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，tan3π4＝－1.
由条件得f1＝0f ′1＝－1，即1－a＋b＋ab＝03－2a＋b＋ab＝－1，
解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，
因为a(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2x，f ′(x)＝3x2－6x＋2，
令f ′(x)＝3x2－6x＋2＝0，解得x1＝1－33，x2＝1＋33.
在区间[0,3]上，x，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2,3)3
f ′(x)＋0－0＋
f(x)0递增239
递减 －239
递增6
所以f(x)max＝6；f(x)min＝－239.
(3)证明：f ′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，
依据题意知s，t为二次方程f ′(x)＝0的两根．
∵f ′(0)＝ab>0，f ′(a)＝a2－ab＝a(a－b)<0，
f ′(b)＝b2－ab＝b(b－a)>0，
∴f ′(x)＝0在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个根．
∵s(理)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g( x)　(x>0)．
[解析]　(1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)的公共点为(x0，y0)，∴x0>0.
∵f ′(x)＝x＋2a，g ′(x)＝3a2x，
由题意f(x0)＝g(x0)，且f ′(x0)＝g ′(x0)．
∴12x20＋2ax0＝3a2lnx0＋bx0＋2a＝3a2x0，
由x0＋2a＝3a2x0得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
则有b＝12a2＋2a2－3a2lna＝52a2－3a2lna.
令h(a)＝52a2－3a2lna　(a>0)，
则h′(a)＝2a(1－3lna)．
由h′(a)>0得，0由h′(a)<0得，a> e13 .
故h(a)在(0，e13)为增函数，在(e13，＋∞)上为减函数，
∴h(a)在a＝e13时取最大值h(e13)＝32e23 .
即b的最大值为32e23.
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，
则F ′(x)＝x＋2a－3a2x＝x－ax＋3ax　(x>0)．
故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，＋∞)为增函数，
于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.
故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，
即当x>0时，f(x)≥g(x)．

1．(2011•安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋x2，则f ′(1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝2f ′(1)＋2x，令x＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，故选B.
2．(2011•茂名一模)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜 率为(　　)
A．4 B．－14
C．2 D．－12
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f ′(x)＝g′(x)＋2x，
∴f ′(1)＝g′(1)＋2，由条件知，g′(1)＝2，∴f ′(1)＝4，故选A.
3．(2010•新课标高考)曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
[答案]　A
[解析]　∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，
∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．(2011•湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)

A.13 B．－13
C.53 D．－53
[答案]　B
[解析]　f ′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∵a≠0，
∴其图象为最右侧的一个．
由f ′(0)＝a2－1＝0，得a＝±1.
由导函数f ′(x)的图象可知，a<0，
故a＝－1，f(－1)＝－13－1＋1＝－13.
5．(2011•广东省佛山市测试)设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f ′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
[答案]　C
[解析]　因为f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′，所以[f(x)g( x)]′<0，所以函数y＝f(x)g(x)在给定区间上是减函数，故选C.
6．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A.π2 B．0
C．钝角 D．锐角
[答案]　C
[解析]　y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝2e4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.
7．(2010•东北师大附中模拟)定义方程f(x)＝f ′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为(　　)
A．α>β>γ B．β>α>γ
C．γ>α>β D．β>γ>α
[答案]　C
[解析]　由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝1x＋1，故知1由φ(x)＝φ′(x)得，x3－1＝3x2，∴x2(x－3)＝1，
∴x>3，故γ>3，∴γ>α>β.
[点评]　对于ln(x＋1)＝1x＋1，假如01矛盾；假如x＋1≥2，则 1x＋1≤12，即ln(x＋1)≤12，∴x＋1≤e，∴x≤e－1与x≥1矛盾．
8．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)＝(　　)
A．26　　　　B．29　　　　C．212　　 　D．215
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝x′•[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′•x
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′•x，
所以f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′•0＝a1a2…a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.