广东省深圳市2012届高三数学二模试题(文科)及答案
详细内容
绝密★启用前 试卷类型：A
2012年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科） 2012.4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：若锥体的底面积为 ，高为 ，则锥体的体积为 ．
若柱体的底面积为 ，高为 ，则柱体的体积为 ．
若球的半径为 ，则球的体积为 ．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则集合
A． B． C． D．
2. 为虚数单位，则复数 的虚部为
A． B． C． D．
3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育
情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.
根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据
此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为
A．240 B．160 C．80 D．60
4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是
A． B．
C． D．
5.
A. B. C. D.
6． 若对任意正数 ，均有 ，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
7．曲线 在 点处的切线方程是
A. B.
C. D.
8．已知命题 ：“对任意 ， 都有 ”；命题 ：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则
A. 命题“ ”为真命题 B. 命题“ ”为假命题
C. 命题“ ”为真命题 D. 命题“ ”为真命题
9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为 的圆（包括圆心），则该零件的体积是
A． B．
C． D．
10. 线段 是圆 的一条直径，离心率为 的双曲线 以
为焦点．若 是圆 与双曲线 的一个公共点，则
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题．
11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少
要经过______道加工和检验程序，导致废
品的产生有_____种不同的情形．
12. 已知递增的等比数列 中,
则 .
13. 无限循环小数可以化为有理数，如 ，
请你归纳出 （表示成最简分数 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．
14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线 （常数 ）与曲线 相切，则 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图， 是半圆的直径，
弦 和弦 相交于点 ，且 ，则
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在 中，角 为锐角,记角 所对的边分别为 设向量
且 与 的夹角为
（1）求 的值及角 的大小；
（2）若 ，求 的面积 ．
17．（本小题满分12分）
设函数 ，其中 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “ 且 ”发生的概率.
(1) 若随机数 ；
(2) 已知随机函数 产生的随机数的范围为 , 是算法语句 和 的执行结果．(注: 符号“ ”表示“乘号”)
18．（本小题满分14分）
如图，四棱柱 的底面 是平行四边形， 分别在棱 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 平面 ，四边形 是边长为 的正方形，且 ， ，求线段 的长, 并证明：
19．（本小题满分14分）
已知二次函数 的最小值为 且关于 的不等式 的解集为
,
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的零点个数.
20．（本小题满分14分）
如图， 是抛物线 上的两动点（ 异于原点 ），且 的角平分线垂直于 轴，直线 与 轴， 轴分别相交于 .
(1) 求实数 的值，使得 ；
(2）若中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 经过 . 求椭圆 焦距的最大值及此时 的方程.
21．（本小题满分14分）
定义数列 ： ，且对任意正整数 ，有
.
（1）求数列 的通项公式与前 项和 ；
（2）问是否存在正整数 ，使得 ？若存在，则求出所有的正整数对
；若不存在，则加以证明.
2012年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科）参考答案及评分标准2012-4-23
说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。共10小题，每小题5分，满分50分．
题号12345678910
答案 AD B A BC CD
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中第14、15两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分．
11． （第一空3分，第二空2分） 12． 13. 14． 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在 中，角 为锐角,记角 所对的边分别为 设向量
且 与 的夹角为
（1）求 的值及角 的大小；
（2）若 ，求 的面积 ．
【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力．
解：（1）
3分
，
5分
7分
（2）(法一) , 及 ,
, 即 (舍去)或 10分
故 12分
(法二) , 及 ,
.7分
,
,
.10分
故 12分
17．（本小题满分12分）
设函数 ，其中 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “ 且 ”发生的概率.
(1) 若随机数 ；
(2) 已知随机函数 产生的随机数的范围为 , 是算法语句 和 的执行结果．(注: 符号“ ”表示“乘号”)
【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力．
解：由 知，事件A “ 且 ”，即 1分
(1) 因为随机数 ，所以共等可能地产生 个数对 ，
列举如下：
，
4分
事件A ： 包含了其中 个数对 ，即：
6分
所以 ，即事件A发生的概率为 7分
(2) 由题意， 均是区间 中的随机数，产生的点 均匀地分布在边长为4的正方形区域 中（如图），其面积 . 8分
事件A ： 所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），
其面积为： .10分
所以 ，
即事件 的发生概率为 12分
18．（本小题满分14分）
如图，四棱柱 的底面 是平行四边形， 分别在棱
上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 平面 ，四边形 是边长为 的正方形，且 ， ，求线段 的长, 并证明：
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力．
证明：（1） 四棱柱 的底面 是平行四边形，
1分
平面 平面
平面 平面 3分
平面 ，
平面 平面 4分
，
四点共面. 5分
平面 平面 ,平面 平面 ,
7分
（2） 设
四边形 ,四边形 都是平行四边形，
为 ， 的中点， 为 ， 的中点. 8分
连结 由(1)知 ,从而 .
， ，
10分
平面 ,四边形 是正方形,
， ， 均为直角三角形,得
,
，即 . 12分
平面 平面
.
平面
平面 13分
平面
14分
19．（本小题满分14分）
已知二次函数 的最小值为 且关于 的不等式 的解集为
,
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的零点个数.
【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．
解：（1） 是二次函数, 且关于 的不等式 的解集为
,
, 且 . 4分
,且 ,
6分
故函数 的解析式为
(2) ,
. 8分
的取值变化情况如下：
单调增加极大值单调减少极小值单调增加
11分
当 时, ；12分
又 .13分
故函数 只有1个零点,且零点 14分
20．（本小题满分14分）
如图， 是抛物线 上的两动点（ 异于原点 ），且 的角平分线垂直于 轴，直线 与 轴， 轴分别相交于 .
(1) 求实数 的值，使得 ；
(2）若中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 经过 . 求椭圆 焦距的最大值及此时 的方程.
【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、
两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，
考查学生运算能力、推理论证以及分析问
题、解决问题的能力，考查数形结合思想、
化归与转化思想．
解: (1) 设
由 的角平分线垂直于 轴知，直线 与直线 的倾斜角互补，从而斜率之和等于 ，即 化简得 .3分
由点 知直线 的方程为 .
分别在其中令 及 得 .5分
将 的坐标代入 中得 ,
即 ,7分
所以 8分
(2) 设椭圆 的方程为 ,
将 , 代入,得 ,9分
解得 , 由 得 . 10分
椭圆 的焦距
（或 ）12分
当且仅当 时,上式取等号, 故 ,13分
此时椭圆 的方程为 14分
21．（本小题满分14分）
定义数列 ： ，且对任意正整数 ，有
.记数列 前 项和为 .
(1) 求数列 的通项公式与前 项和 ；
（2）问是否存在正整数 ，使得 ？若存在，则求出所有的正整数对
；若不存在，则加以证明.
【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．
解：（1）对任意正整数 ， ，
.1分
所以数列 是首项 ,公差为 等差数列；数列 是首项
,公比为 的等比数列. 2分
对任意正整数 , , .3分
所以数列 的通项公式
或 4分
对任意正整数 ,
.5分
6分
所以数列 的前 项和为 .
或 7分
(2)
,
从而 ,由 知 8分
①当 时, ,即 ；9分
②当 时, ,即 ；10分
③当 时, ,则存在 ,
使得
从而 ,得 ,
，得 ,即 . 13分
综上可知,符合条件的正整数对 只有两对： 与 14分