二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专项练习（有解析2015数学高考一轮）

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二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专项练习（有解析2015数学高考一轮）
A组　基础演练
1．设A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是
(　　)

　　
解析：由已知得x＋y＞1－x－y，x＋1－x－y＞y，y＋1－x－y＞x，即x＋y＞12，y＜12，x＜12.
答案：A
2．(2013•湖南)若变量x，y满足约束条件y≤2x，x＋y≤1，y≥－1，
则x＋2y的最大值是
(　　)
A．－52　　　　　　　B．0
C.53 D.52
解析：由线性约束条件可画出其表示的平面区域为三角形ABC，作出目标函数z＝x＋2y的基本直线l0：x＋2y＝0，经平移可知z＝x＋2y在点C13，23处取得最大值，最大值为53，故选C.

答案：C
3．(2014•东城区模拟)已知约束条件x－3y＋4≥0x＋2y－1≥03x＋y－8≤0，若目标函数z＝x＋ay(a＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为
(　　)
A．0＜a＜13 B．a≥13
C．a＞13 D．0＜a＜12
解析：如图，约束条件为图中的三角形区域ABC.目标函数化为y＝－1ax＋za，当z最大时，za最大，根据图形只要－1a＞kAB＝－3，所以a＞13.
答案：C
4．设z＝x＋y，其中x，y满足x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k.若z的最大值为6，则z的最小值为
(　　)
A．－3 B．3
C．2 D．－2
解析：如图，直线z＝x＋y过点
A(k，k)时，z取最大值6，∴k＝3.
z＝x＋y在点B(－6,3)处取得最小值．
∴zmin＝－6＋3＝－3.
答案：A
5．(2013•陕西)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
解析：作出可行域如图所示．

记z＝2x－y，则y＝2x－z.
将y＝2x沿y轴向上平移，过A(－1,2)时，－z最大，即z最小，最小值为
－4.
答案：－4
6．(2013•浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分，其中点A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)．当－k≤12即k≥－12时，目标函数z＝kx＋y在点A(4,4)取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；

当－k＞12即k＜－12时，目标函数z＝kx＋y在点B(0,2)取得最大值12，故k•0＋2＝12，无解．综上所述，k＝2.
答案：2
7．(2014•北京朝阳二模)若实数x，y满足x－y＋1≤0，x≤0，则x2＋y2的最小值是________．
解析：首先正确画出图形，然后利用几何意义求得x2＋y2的最小值．
原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．

∵x2＋y2表示可行域内任意一点P(x，y)与原点(0,0)距离的平方，
∴当P在AB上且OP⊥AB时有最小值，
∴(x2＋y2)min＝(|0－0＋1|2)2＝12.
答案：12
8．画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求出所有正整数解．
解：先将所给不等式转化为y＞2x－3，y≤3.
而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，
即求y＞2x－3y≤3x，y＞0的整数解．
所给不等式等价于y＞2x－3y≤3.
依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)．
对于2x－3＜y≤3的正整数解，再画出y＞2x－3，y≤3，x，y＞0
表示的平面区域．如图(2)所示：

可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组．
9．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
5x＋7y＋4100－x－y≤600，100－x－y≥0，x≥0，y≥0，x∈Z，y∈Z，
整理得x＋3y≤200，x＋y≤100，x≥0，y≥0，x∈Z，y∈Z，
目标函数为W＝2x＋3y＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．
由x＋3y＝200，x＋y＝100，
得x＝50 ，y＝50，最优解为A(50,50)，
所以Wmax＝550(元)．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
B组　能力突破
1．若实数x，y满足x－y＋1≤0，x＞0，y≤2，则yx－2的取值范围是
(　　)
A．[－2，－1] B.－2，－12
C.－2，－12 D.－12，＋∞
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示：yx－2可看作区域内的点(x，y)与点P(2,0)连线的斜率，因为kPA＝－2，kPB＝－12，所以－2≤yx－2＜－12.
答案：B
2．(2013•北京)设关于x，y的不等式组2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是
(　　)
A.－∞，43 B.－∞，13
C.－∞，－23 D.－∞，－53

解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点
P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需点A(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2＞0，解得m＜－23，故选C.
答案：C
3．(2013•广东)给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0，令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．
作出z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0.
经平移可知目标函数z＝x＋y在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值．而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别
为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．
答案：6
4．若a≥0，b≥0，且当x≥0，y≥0，x＋y≤1，时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积．
解：作出线性约束条件x≥0，y≥0，x＋y≤1，对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超过1即可．
令z＝ax＋by，则y＝－abx＋zb.
因为a≥0，b≥0，则－1＜－ab≤0时，b≤1，或－ab≤－1时，a≤1.
此时对应的可行域如图，

所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.