2012届高三数学下册冲刺模拟检测试题（附参考答案）

详细内容

模拟数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.是虚数单位，复数 的虚部是 ；
2．抛物线 的焦点到准线的距离是 ；
3. 已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，
则 = ；
4．已知集合 ，集合 ，若命题“ ”是命 题“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ；
5．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为
相关人员数抽取人数
公务员32x
教师48y
自由职业者644
6．已知函数 ，则不等式 的解集是 ；
7.若某程 序框图如所示，则该程序运作后输出的 等于 ；
8．函数 （其中 ， ）的图象如图所示，若点A是函数 的图象与x轴的交点，点B、D分别是函数 的图象的最高点和最低点，点C 是点B在x轴上的射影，则 = ；

9．如图，在棱长为5的正方体ABCD―A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=2， 是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积为_________；

10．如图，是二次函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（ ，则整数 ____________；

11.设 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，
若 ，
则 中数字0的个数为 　　　．

12.设 是实数．若函数 是定义在 上的奇函数，但不是偶函数，则函数 的递增区间为 ．
13.已知椭圆 的左焦点 ，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若 则椭圆的离心率为 ．
14．函数 满足 ，且 均大于 ， ， 则 的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2AA1，
BAA1＝CAA1＝60，D，E分别为AB，A1C中点．
（1）求证：DE∥平面BB1C1C；
（2）求证：BB1平面A1BC．

16. (本小题满分14分)
已知 =(1+cos ,sin ), =( ), , ,向量 与 夹角为 ，向量 与 夹角为 ，且 - = ，若 中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A= .
求（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若 的外接圆半径为 ，试求b+c取值范围．

17.如图，海岸线 ，现用长为的栏网围成一养殖场，其中 .
(1)若 ，求养殖场面积最大值；
（2）若 、 为定点， ，在折线 内选点 ，使 ，求四边形养殖场 的最大面积;
(3)若（2）中 、 可选择，求四边形养殖场 面积的最大值.
18.（本题满分16分）
给定椭 圆 ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点 的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为 ，求 的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线 ，使得 与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线 的斜率之积是否为定值,并说明理由.
19. 设首项为 的正项数列 的前 项和为 , 为非零常数,已知对任意正整数 , 总成立.
（Ⅰ）求证：数列 是等比数列；
（Ⅱ）若不等的正整数 成等差数列，试比较 与 的大小；
（Ⅲ）若不等的正整数 成等比数列，试比较 与 的大小.
20. 已知函数 满足 ,对于任意 R都有 ,且 ,令 .
(1)求函数 的表达式；
(2)求函数 的单调区间；
（3）研究函数 在区间 上的零点个数。

附 加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相
交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于
点F．求证：△PDF∽△POC．

B．选修4－2　矩阵与变换
已知矩阵 ．
（1）求逆矩阵 ；
（2）若矩阵X满足 ，试求矩阵X．

C．选修4－4　坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1： 与曲线C2： （t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

D．选修4－5　不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证： ．
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．已知 （其中 ）
（1）求 及 ；
(2) 试比较 与 的大小，并说明理由．
23．设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若kPA•kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

参考答 案
一、填空题：
1． 2. 3. 4. 5. 6. 7. 63 8.
9. 10. 1 11. 11 12. 13. 14.
二、解答题：

16. (Ⅰ）据题设，并注意到 的范围， -----------------------2分
，--------------------4分
由于 为向量夹角，故 ，
而 故有 ， 得 .--7分
（Ⅱ）（2）由正弦定理 ，-------10分
得 --------12分
注意到 ，从而得 ------------------------14分
17. 解：(1)设 ，
， ，
所以，△ 面积的最大值为 ，当且仅当 时取到．
(2)设 为定值)． (定值) ，
由 ，a =1 2 l，知点 在以 、 为焦点的椭圆上， 为定值．
只需 面积最大,需此时点 到 的距离最大,
即 必为椭圆短轴顶点．
面积的最大值为 ，
因此,四边形ACDB面积的最大值为 ．
(3)先确定点B、C，使 . 由(2)知 为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大.
确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，
由(1)知AB=AC时，四边形ACDB面积最大.
此时，△A CD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD= .[
S= .
由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为 .
所以，四边形ACDB面积最大值为 .
18. 解：（Ⅰ）由题意得： ，半焦距
则 椭圆C方程为
“伴随圆”方程为 ……………4分
（Ⅱ）则设过点 且与椭圆有一个交点的直线为： ，
则 整理得
所以 ，解 ① ……………6分
又因为直线截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ，
则有 化简得 ② ……8分
联立①②解得， ，
所以 ， ，则 …………10分
（Ⅲ）当 都有斜率时，设点 其中 ，
设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ，
由 ，消去 得到 …………12分
即 ， ，
经过化简得到： ， ……14分
因为 ，所以有 ，
设 的斜率分别为 ，因为 与椭圆都只有一个公共点，
所以 满足方程 ，
因而 ，即直线 的斜率之积是为定值 ……16分
19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数 ， 总成立,
令 ，得 ,则 …………………………………………(1分)
令 ，得 (1) , 从而 (2),
(2)－(1)得： , ……(3分)
综上得 ,所以数列 是等比数列…………………………(4分)
（Ⅱ）正整数 成等差数列，则 ,所以 ,
则 …………………………………………(7分)
①当 时， ………………………………………………(8分)
②当 时， ……(9分)
③当 时， ………(10分)
（Ⅲ）正整数 成等比数列，则 ,则 ,
所以
分
①当 ,即 时，
………………………………………(14分)
②当 ,即 时， …………………(15分)
③当 ,即 时， …………………(16分)
20. (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
(1) 解：∵ ，∴ . … 1分
∵对于任意 R都有 ,
∴函数 的对称轴为 ，即 ，得 . … 2分
又 ，即 对于任意 R都成立，
∴ ,且 ．
　　　　∵ ， ∴ ．
　　　　∴ ． … 4分
(2) 解： … 5分
① 当 时，函数 的对称轴为 ，
若 ，即 ，函数 在 上单调递增； … 6分
若 ，即 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减 ．
…7分
② 当 时，函数 的对称轴为 ，
　则函数 在 上单调递增，在 上单调递减． … 8分
综上所述，当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； … 9分
当 时，函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 ． … 10分
(3)解：① 当 时，由(2)知函数 在区间 上单调递增，
　　　　　又 ，
　　　　　故函数 在区间 上只有一个零点． … 12分
　　　　② 当 时，则 ，而 ，
　　　　 ，
（?）若 ，由于 ，
且 ，
此时，函数 在区间 上只有一个零点； … 14分
　　　　（?）若 ，由于 且 ，此时，函数 在区间 上有两个不同的零点． 15分
　　 　综上所述，当 时，函数 在区间 上只有一个零点；
　　　　当 时，函数 在区间 上有两个不同的零点 ． …… 16分

附加题
B．（1）设 = ，则 = = ．
∴ 解得 ∴ = ．--------6分
（2） ．---------------10分
C．解：曲线 的直角坐标方程 ，曲线 的直角坐标方程是抛物线 4分
设 ， ，将这两个方程联立，消去 ，
得 ， ． --------------6分
-------8分
∴ ， ． -----------------------10分
D．选修4－5　不等式选讲
证明：因为x，y，z都是为正数，所 以 ．-------------4分
同理可得 ，
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立． -------------------7分
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 ． ---------- 10分
22．（1）令 ，则 ，令 ，
则 ，∴ ； ----------------------3分
（2）要比较 与 的大小，即比较： 与 的大小，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ； -----------------------------------5分
猜想：当 时 时， ，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知， 时结论成立，
假设当 时结论成立，即 ，
两边同乘以3 得：
而 ∴
即 时结论也成立，
∴当 时， 成立.
综上得，当 时， ；
当 时， ；当 时， --10分
（23）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，
同理 ， ．
∵kPA+kPB=0，
∴ + =0，∴ = ，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8
∴ ．
即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．
（3）∵kPAkPB=1，∴ • =1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0．
直线AB的方程为 ，即(y1+y2)y-y1y2=8x．
将-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得
(y1+y2)(y+4)=8(x+6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．