2013届高考数学指数与指数函数复习课件和测验题
详细内容
2013年高考数学总复习 2-4 指数与指数函数但因为测试 新人教B版
1.(文)若log2a<0，12b<1，则( )
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0
C．0
[解析] 由log2a<0得0
(理)三个数P＝(25)－15 ，Q＝(65)－15 ，R＝(65)－25 的大小顺序是( )
A．Q
[解析] 当a>1时，y＝ax为R上的增函数，故(65)－25 <(65)－15 ，∴R
A．|a|>1 B．|a|<2
C．|a|<2 D．1<|a|<2
[答案] D
[解析] 由题意知，0
A.12 B．2 C．3 D．10
[答案] A
[解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则函数y＝ax过点(－1,2)，故选A.
(理)(2011•山东文，3)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tanaπ6的值为( )
A．0 B.33
C．1 D.3
[答案] D
[解析] 由点(a,9)在函数y＝3x图象上知3a＝9，
即a＝2，所以tanaπ6＝tanπ3＝3.
4．(文)在同一平 面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
[答案] C
[解析] y＝2x＋1的图象关于y轴对称的曲线对应函数为y＝21－x，故选C.
(理)(2011•聊城模拟)若函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )
A．m≤－1 B．－1≤m<0
C．m≥1 D．0
[解析] ∵|1－x|∈[0，＋∞)，∴2|1－x|∈[1，＋∞)，
欲使函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，应有m≤－1.
5．(文)(2011•浙江省台州市模拟)若函数f(x)＝2x， x<1，x－1 x≥1，且f(a)>1，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(2，＋∞)
C．(0,1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由a<1，2a>1，得0
(理)函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1,1) D．(0,2)
[答案] C
[解析] 由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<0
A.13 B.16
C.112 D.124
[答案] D
[解析] ∵1
＝123＋log23＝12log224＝124.
7．(文)(2011•青岛模拟)若定义运算a*b＝a a
[解析] 由a*b的定义知，f(x)取y＝3x与y＝3－x的值中的较小的，∴0
[答案] 9
[解析] 由程序框图可知，h(x)的值取f(x)与g(x)的值中较大的，∵f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9,9>8，∴h(3)＝9.
8．若函数f(x)＝1x，x<013x，x≥0则不等式|f(x)|≥13的解集为________．
[答案] [－3,1]
[解析]
f(x)的图象如图．
|f(x)|≥13⇒f(x)≥13
或f(x)≤－13.
∴13x≥13或1x≤－13
∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集为{x|－3≤x≤1}．
9．(2010•常德市检测)定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为______，最小值为______．
[答 案] 4 2
[解析] 由3|x|＝1得x＝0，由3|x|＝9得x＝±2，故f(x)＝3|x|的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m]，0≤m≤2或[n,2]，－2≤n≤0都可以，故区间[a，b]的最大长度为4，最小长度为2.
10．(文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.
(1)求f(x)在(－1,1)上的解 析式；
(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
[解析] (1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，
∴f(－x)＝2－x4－x＋1＝2x1＋4x，
∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x1＋4x，
∴f(x)在(－1,1)上的解析式为
f(x)＝2x4x＋1 x∈0，1－2x4x＋1 x∈－1，00 x＝0.
(2)当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.
设0
＝2x2－2x12x1＋x2－14x1＋14x2＋1，
∵0
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(0,1)上是减函数．
(理)已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(－x)，看是否等于f(x)(或－f(x))；
(2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；
(3)b≤f(x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f(x)的 单调性可求f(x)min.
[解析] (1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．
当0
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1•1－a2a＝－1.
∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1].
11.(文)(2011•浙江省金华十校模拟)设f(x)＝2x－2，x≤2log2x－1，x>2，则f(f(5))等于( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] B
[解析] f(f(5))＝f(log2(5－1))＝f(2)＝22－2＝1.
(理)(2011•山东济南一模)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是( )
A．0
[解析] 由4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，
得(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)．
即t2－2•2x＋y＝2t，t2－2t＝2•2x＋y.
又由2x＋2y≥22x＋y，得2x＋y≤14(2x＋2y)2，
即2x＋y≤14t2.
所以0
A．有极大值 B．有极小值
C．是增函数 D．是减函数
[答案] C
[解析] 设0
(理)(2011•大连模拟)已知函数f(x)＝3－ax－3，x≤7，ax－6，x>7.若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．[94，3) B．(94，3)
C．(2,3) D．(1,3)
[答案] C
[解析] ∵{a n}是递增数列，
∴f(n)为单调增函数，
∴a>13－a>0a8－6>3－a×7－3，∴2
[答案] 10
[解析] ∵2a＝5b ＝m
∴a＝log2m，b＝log5m
∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m
＝logm2＋logm5＝logm10＝2
∴m＝10.
14．(文) (2011•南通六校联考)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
[答案] m
故am>an⇒m
[答案] －13
[解析] T7＝C69(2x)3•－226＝212×8x＝214，
∴3x＝－1，∴x＝－13.
15．(文)(2011•上海吴淞中学月考)已知函数f(x)＝a•2x＋a－22x＋1是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)求函数的值域．
[解析] (1)∵f(x)的定义域为R，且为奇函数．
∴f(0)＝0，解得a＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，∴f(x)为增函数．
证明： 任取x1，x2∈R，且x1
＝22x1－2x22x1＋12x2＋1，
∵x1
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
(3)令y＝2x－12x＋1，则2x＝－1－yy－1，
∵2x>0，∴－1－yy－1>0，∴－1
(理)(2010•浙江台州模拟)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a•12x＋14x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝1＋12x＋14x.
因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，
即f(x)在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立．
所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．
∴－3≤f(x)≤3，即 －4－14x≤a•12x≤2－14x，
∴－4•2x－12x≤a≤2•2x－12x在[0，＋∞)上恒成立，
设2x＝t，h(t)＝－4t－1t，p(t)＝2t－1t，
由x∈[0，＋∞)得t≥1，
设1≤t1
p(t1)－p(t2)＝t1－t22t1t2＋1t1t2<0
所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，
h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，
所以实数a的取值范围为[－5,1]．
1．(2010•山东省实验中学)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，12)
[答案] D
[解析] 若a>1，如图(1)为y＝|ax－1|的图象，与y＝2a显然无交点；当0
2．设函数f(x)＝|2x－1|的定义域和值域都是[a，b](b>a)，则a＋b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] A
[解析] 因为f(x)＝|2x－1|的值域为[a，b]，所以b>a≥0，而函数f(x)＝|2x－1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，
因此应有|2a－1|＝a|2b－1|＝b，解得a＝0b＝1，
所以有a＋b＝1，选A.
[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b>a≥0，从而避免了对a、b的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a、b的方程组求解．
3．(2011•石家庄一中模拟)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B．log12 x
C.12x D．x2
[答案] B
[解析] 函数y＝ax的反函数是f(x)＝logax，
∵其图象经过点(a，a)，
∴a＝logaa，∴a＝12，∴f(x)＝log12 x.
4．(2010•深圳市调研)已知所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，则a3＋a7与2a5的大小关系是( )
A．a3＋a7>2a5
B．a3＋a7<2a5
C．a3＋a7＝2a5
D．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关
[答案] A
[解析] 因为所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得：a3
＋a7>2a3•a7＝2a10＝2a5，∴a3＋a7>2a5(因为a>0，a≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.
5．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
[答案] A
[解析] 由a－2＝4，a>0，得a＝12，
∴f(x)＝(12)－|x|＝2|x|.
又∵|－2|>|－1|，∴2|－2|>2|－1|，
即f(－2)>f(－1)．
6．函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________．
[答案] 2
[解析] 由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A(1,1)，而A∈l，
∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1，
由基本不等式可得：m2＋n2≥12(m＋n)2＝12.
∴O到直线l的距离d＝1m2＋n2≤122＝2，
∴O到直线l的距离的最大值为2.
7．已知函数f(x)＝12x x≤1log2x－1 x>1，则f(x)≤12的解集为________．
[答案] [1，2＋1]
[解析] 由f(x)≤12得，
12x≤12x≤1或log2x－1≤12x>1，
∴x＝1或1
8．(2011•潍坊模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f(x)＝2x－1，则f(23)、f(32)、f(13)的大小关系是________．
[答案] f(23)
又f(32)＝f(1＋12)＝f(1－12)＝f(12)，13<12<23，
∴f(23)
[答案] 9
[解析] 由f(－1)＝3得a＋1a＝3，
于是f(2)＝a2＋1a2＝(a＋1a)2－2＝32－2＝7.
又∵f(0)＝1＋1＝2，∴f(0)＋f(2)＝9.