2014年安徽省高考数学理科试卷（含解析）

详细内容

2014年安徽省高考数学理科试卷（含解析）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。2
（1）设 是虚数单位， 表示复数 的共轭复数. 若 则 （ ）
A. B. C. D.
析：此题考察复数的的代数形式下的共轭概念和四则运算。考查运算能力。答案：C
（2）“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
析：此题对数意义和充分必要条件的判断。考察分析问题解决问题能力。 答案：B
（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A. 34 B. 55 C. 78 D. 89
析：此题考察算法流程，考查运算能力。图片中第三框中为“z=x+y”。答案：B
4.以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 的参数方程是 ，（t为参数），圆C的极坐标方程是 则直线 被圆C截得的弦长( )
A. B. C. D.
析：此题考察极坐标与参数方程的简单知识，交汇点在直线方程与圆的方程及其位置关系上，考查等价转化思想的运用。答案：D
5. 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
析：此题在考察线性规划知识同时考察对“直线知识“的灵活运用，考查学生的数形结合思想运用。答案：D
6.设函数 满足 当 时， ，则 （ ）
A. B. C.0 D.
析：此题在考察函数知识、三角函数知识同时，考查转化化归思想的运用。答案：A
7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A.21+ B.18+ C.21 D.18
析：此题考察三视图知识和正方体的割补变换，考察面积的计算。同时考查空间变换能力，空间想象能力和空间图形表现能力。答案：A
8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 的共有（ ）
A.24对 B.30对 C.48对 D.60对
析：此题考察组合知识及其运用、考察空间直线位置关系的知识，考察对空间图形的认识能力。考察分类讨论的意识与补集思想的运用。答案:C
9.若函数 的最小值为3，则实数 的值为（ ）
A.5或8 B. 或5 C. 或 D. 或8
析：此题考察含绝对值的函数转化为分段函数。同时考查数形结合、分类讨论、转化思想的运用。答案：D
10.在平面直角坐标系 中，已知向量 点 满足 .曲线 ，区域 .若 为两段分离的曲线，则( ) A. B. C. D.
析：此题以向量知识为背景，考察数形结合思想运用与转化能力、考查灵活运用数学知识与方法解决问题的意识。答案：A
第 卷（非选择题 共100分）
二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.若将函数 的图像向右平移 个单位，所得图像关于 轴对称， 则 的最小正值是___.
析：此题以三角函数图象的平移变换知识为背景，考察数形结合思想的运用意识。答案：
12.数列 是等差数列，若 ， ， 构成公比为 的等比数列，则 _______.
析：此题等差、等比数列为背景，考察方程思想、整体思想与换元法的运用。答案：1

（13）设 是大于1的自然数， 的展开式为 .若点 的位置如图所示，则
析：此题以二项式定理知识运用为背景，考察数形结合思想、方程思想的运用意识。答案：3
（14）设 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点，若 轴，则椭圆 的方程为__________
析：此题以椭圆知识运用为背景，考察数形结合思想、方程思想的运用意识，其中含有解题策略运用。答案：
（15）已知两个不相等的非零向量 两组向量 和 均由2个 和3个 排列而成.记 ， 表示 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.
① 有5个不同的值. ②若 则 与 无关. ③若 则 与 无关.
④若 ，则 . ⑤若 则 与 的夹角为
析：此题以向量知识为背景，考察排列、重组、配对、构造、分类讨论、等价转化等数学素养和创新意识。答案：②④

三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
16.设 的内角 所对边的长分别是 ，且
（1）求 的值；
（2）求 的值.
析：此题以三角函数、解三角形知识为背景，考察知识的运用能力。
简解：（1）由正弦定理知： .又b=3∴a=6cosB，又c=1，代入余弦定理， ，得9=36os2B+1-12cos2B,解得cos2B= ，又B为锐角，∴cosB= ，∴a=2

（1）方法二：A=2B，得出，sinA=2sinBcosB,得出 ，b=3,c=1,代入得，a=
（2）由（1）知，cosA=2cos2B－1=－ ，∴sinA= ,∴sin(A+ )= = .
17（本小题满分12分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2)记 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和均值（数学期望）
析：此题以古典概型和离散型随机变量分布列知识为背景，考察分析问题和解决问题的能力。
简解：（1）p=
X可取值为2，3，4，5，其分布列为
X2345
P

∴E（X）=
18（本小题满分12分）
设函数 其中 .
（1）讨论 在其定义域上的单调性；
（2）当 时，求 取得最大值和最小值时的 的值.
析：此题以三次函数的导数运用为背景，考察分类讨论思想运用以及分析问题和解决问题的能力。
简解：（1）f/(x)=-3x2-2x+1+a（a>0）,定义域R。f/(x)=0时，∆=4+12（1+a）>0，解得x1=
X2= .
可见， 在（-∞， ）及（ ，+∞）上为减函数，在（ ， ）上是增函数。
（2）由 =1，得a=4.
有下列两种情况：
一是aㄒ4时， ， 为增函数，x=0时， 取最小值；x=1时， 取最小值；
二是0这样，ｘ＝ 时， 取最大值。
又ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝ａ，若ａ＝１，则ｘ＝１或ｘ＝０时， 取最小值；若0

(19)(本小题满分13分)
如图，已知两条抛物线 和 ，过原点 的两条直线 和 ， 与 分别交于 两点， 与 分别交于 两点.
(1)证明：
(2)过原点 作直线 （异于 ， ）与 分别交于 两点。记∆A1B1C1与的∆A2B2C2面积分别为 与 ,求 的值.
析：本题以二次曲线中的抛物线和直线相关知识为背景，考察学生的运算和推演能力，考查转化化归思想的运用。
简解：（1）设直线l1:y=kx,l2:y=mx(k≠m,k≠0,m≠0)分别代入E1,E2的方程得
A1 ,A2 ;B1 ,B2 ,则直线A1B1与A2B2有两种情形：
一是当k=-m时，直线A1B1与A2B2的斜率都不存在，A1B1‖A2B2；
二是当k -m时，直线A1B1与A2B2的斜率 ，则A1B1‖A2B2；
综合可见，A1B1‖A2B2。
设直线l:y=nx,则C1 ,C2 ，三点坐标代入面积公式 可得，
另一法：由（1）知，两个三角形三边对应平行，它们相似。面积比为边的比的平方。可得。
(20)本题满分13分)
如图，四棱柱 中， 底面 .四边形 为梯形，
,且 .过 三点的平面记为 ， 与 的交点为 .
（1）证明： 为 的中点；
（2）求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比；
（3）若 ， ，梯形 的面积为6，
求平面 与底面 所成二面角大小.
析：本题以直四棱柱为背景，考察学生的空间意识、运算和推演能力，考查空间整合思想的运用。
简解：
（1)取AD中点M，AA1中点N，连MN,MC,NQ。则MN‖A1D,又QC‖A1D，则MN‖QC，由于四棱柱 中， 底面 .则∠AMN与∠BCQ分别是MN与QC与底面所成的角,则∠AMN=∠BCQ。又∠NAM=∠QBC=
BC=AM,则∆AMN ∆BCQ，则BQ=AN,则Q是BB1中点。
若AB,CD交于点E,则A1Q过点E,若∆BCE面积为s,则四边形 面积为3s,设AA1=2h,则棱锥A1-AED有体积为 ，三棱锥Q-BCE体积为 ，则多面体BCQ-ADA1的体积为 ，又四棱柱 的体积为3sh,此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比为
过A作AH⊥CD于H,连A1H,则∠A1HA为平面 与底面 所成二面角之锐二面角。由于 ，∆ADH面积是梯形面积的 ，即为4.由于CD=2，则AH=4，而 ，则∠A1HA= 。
所以，平面 与底面 所成二面角大小为 .
（21） （本小题满分13分）
设实数 ，整数 ， .
（I）证明：当 且 时， ；
（II）数列 满足 ， ，证明：
析：本题以二项式展开与数列变换为背景，考察学生的转化和推演能力、灵活运用能力和综合创新意识。
简解：
用数学归纳法证明：当p=2时，左边=（1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x.由于 ，则命题成立；
当p=k(k>1,k为整数）时，若命题成立，则 ，由于x>-1，则1+x>0，则
即，p=k+1时命题也成立。
综合可见，当 且 时， ；
由 （c>0,p为不小于2的正整数）， 可知，an>0.
先用数学归纳法证明 。
①当n=1时，由题知，不等式成立；
②假设n=k(k是正整数）时不等式成立，则 。
由于 ，则
由于 ，则 ，由（1）的结论可得，
，可得， .
所以，n=k+1时，不等式也成立。
综合①、②可得，对任意正整数，总有 。
再由 ，可得 。
所以， 。
证法二：设 ，
则其导数
因此，f(x)在定义域内是增函数。则 。
①当n=1时，由题知 ,则 ，
又， ，可见，n=1时，不等式成立；
②假设n=k(k是正整数）时不等式成立，即 ，
则 得， 。
所以，n=k+1时，不等式也成立。
综合①、②可得，对任意正整数，总有 。