2014年山东省高考理科数学试卷

详细内容

山东理科数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则
（A） （B） （C） （D）
（2）设集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（3）函数 的定义域为
（A） （B） （C） （D）
（4）用反证法证明命题：“已知 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是
（A）方程 没有实根（B）方程 至多有一个实根学科网
（C）方程 至多有两个实根（D）方程 恰好有两个实根
（5）已知实数 满足 （ ），则下列关系式恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（6）直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A） （B） （C）2（D）4
（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分组区间为 ， ， ， ， ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（A）1（B）8（C）12（D）18
（8）已知函数 ， ，若 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（9）已知 满足约束条件 当目标函数 在该约束条件下取到最小值 时， 的最小值为
（A）5（B）4（C） （D）2
（10）已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为学科网
（A） （B） （C） （D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
（11）执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 .
（12）在 中，已知 ，当 时， 的面积为 .
（13）三棱锥 中， ， 分别为 ， 的中点，记三棱锥 的体积为 ， 的体积为 ，则 .
（14）若 的展开式中 项的系数为20，则 的最小值为 .
（15）已知函数 .对函数 ，定义 关于 的“对称函数”为 ， 满足：对任意 ，两个点 ， 关于点 对称.若 是 关于 的“对称函数”，且 恒成立，则实数 的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
已知向量 ， ，设函数 ，且 的图象过点 和点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将 的图象向左平移 （ ）个单位后得到函数 的图象.若 的图象上各最高点到点 的学科网距离的最小值为1，求 的单调增区间.
（17）（本小题满分12分）
如图，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ， ， 是线段 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 垂直于平面 且 ，求平面 和平面 所成的角（锐角）的余弦值.

（18）（本小题满分12分）
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域 ，乙被划分为两个不相交的区域 .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 上记3分，在 上记1分，其它情况记0分.对落点在 上的来球，小明回球的落点在 上的概率为 ，在 上的概率为 ；对落点在 上的来球，小明回球的落点在 上的概率为 ，在 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望.
（19）（本小题满分12分）
已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 .
（20）（本小题满分13分）
设函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 在 内存在两个极值点，求 的取值范围.

（21）（本小题满分14分）
已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点 的直线 交 于另一点 ，学科网交 轴的正半轴于点 ，且有 .当点 的横坐标为3时， 为正三角形.
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，
（?）证明直线 过定点，并求出定点坐标；
（?） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.