2013高考数学函数与方程、函数模型复习课件和训练题
详细内容
2013年高考数学总复习 2-8 函数与方程、函数模型及其应用但因为测试 新人教B版
1.(2011•湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
[答案] C
[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)•f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C.
2．(文)若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)•f(2)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不能确定
[答案] D
[解析] 若函数f(x)在(－2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f(－2)•f(2)<0，故由条件不能确定f(－2)•f(2)的值的符号．
(理)(2011•北京东城一模)已知函数f(x)＝(12)x－x13，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是( )
A．(0，13) B．(13，12)
C．(12，1) D．(1,2)
[答案] B
[解析] f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13 －(13)13 >0，f(12)＝(12)12 －(12)13 <0，
∵f(13)•f(12)<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，
∴函数f(x)在(13，12)内有零点．
[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．
3．(文)(201 1•杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx 在定义域内零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝lnx的图象，∵lne＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．
(理)(2010•吉林市质检)函数f(x)＝12x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝12x与y＝sinx的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．
4．(2011•深圳一检)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1
[解析] 令f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，所以要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx<0，解得0
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] B
[解析] ∵f(0)•f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一个零 点，又∵f(x)在[0，a]上是单调函数，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点．又∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一个零点，故f(x)在[－a，a]内有两个零点，即方程f(x)＝0在区 间[－a，a]内根的个数为2个．故选B.
6．(文)(2010•北京西城区抽检)某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A―B为2000元；A―C为1600元；A―D为2500元；B―C为1200元；C―D为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B―D的机票价格为( )
(注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)
A．1000元 B．1200元
C．1400元 D．1500元
[答案] D
[解析] 注意观察各地价格可以发现：A、C、D三点共线，A、C、B构成以C为顶点的直角三角形，如图可知BD＝5×300＝1500.
[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．
(理)
(2010•济南一中)如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6：2：3：4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )
A．P点 B．Q点
C．R点 D．S点
[答案] B
[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)，设si(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在Q点，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果选在R处，s3＝6a×4＋2a×3＋3a＋4a×2＝33a，如果选在S处，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少．
7．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f( x)单调递增，f(1)•f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．
[答案] 2
[解析] 由已知可知，在[0，＋∞)上存在惟一x0∈(1,2)，使f(x0)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x′0∈(－2，－1)，使f(x′0)＝0，且x′0＝－x0.故函数的图象与x轴有2个交点．
8.
(2010•浙江金华十校联考)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．
[答案] 2500m2
[解析] 设所围场地的长为x，则宽为200－x4，其中0
作物
项目水果蔬菜稻米甘蔗
市场价格(元/kg)8321
生产成本(元/kg)3210.4
运输成本(元/kg•km)0.060.020.010.01
单位面积相对产量(kg)10154030
[答案] 50
[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1＝50－0.6d，y2＝15－0.3d，y3＝40－0.4d，y4＝18－0.3d，
由y3≥y1y3≥y2y3≥y4d<200⇒50≤d<200，故n＝50.
(理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
[答案] －8
[解析] 解法1：由已知，定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点，又f(x)在区间[0,2]上为增函数，所以方程f(x)＝m(m>0)在区间[0,2]上有且只有一个根，不妨设为x1；
∵f(x1)＝－f(－x1)＝－[－f(－x1＋4)]＝f(－x1＋4)，∴－x1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x2，∴x1＋x2＝4.
又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，
∴f(x1－8)＝f(x1)＝m，不妨将此根记为x3，
且x3＝x1－8∈[－8，－6]；同理可知x4＝x2－8∈[－6，－4]，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋x1－8＋x2－8＝－8.
解法2：∵f(x)为奇函数，且f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－4)＝f(－x)，以2－x代入x得：
f(－2－x)＝f(－2＋x)
∴f(x)的图象关于直线x＝－2对称，
又f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2也对称．
又f(x－8)＝f((x－4)－4)＝－f(x－4)＝f(x)，
∴f(x)的周期为8.
又在R上的奇函数f(x)有f(0)＝0，f(x)在[0,2]上为增函数，方程f(x)＝m，在[－8,8]上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.
∴必在[－2,2]上有一实根，不妨设为x1，∵m>0，∴0≤x1≤2，∴四根中一对关于直线x＝2对称一对关于直线x＝－6对称，故x1＋x2＋x3＋x4＝2×2＋2×(－6)＝－8.
10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009的哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程为200千米．
(1)从经济角度衡量一下 使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．
[解析] (1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，
由题意可知，W＝200t12×2.8＝140t3(t≥0且t∈N)
200t16×3≤P≤200t15×3 (t≥0且t∈N)，
即37.5t≤P≤40t.又140t3>40t，即W>P，
所以使用液化气比使用汽油省钱．
(2)①设37.5t＋5000＝140t3，解得t≈545.5，
又t≥0，t∈N，∴t＝546.
②设40t＋5000＝140t3，解得t＝750.
所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.
11.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
[答案] C
[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.
[点评] 也可以将x＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．
12．(文)(2011•舟山月考)函数f(x)＝lnx＋2x－6 x>0－xx＋1 x≤0的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] D
[解析] 令－x(x＋1)＝0得x＝0或－1，满足x≤0；
当x>0时，∵lnx与2x－6都是增函数，
∴f(x)＝lnx＋2x－6(x>0)为增函数，
∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，
故f(x)共有3个零点．
(理)(2010•瑞安中学)函数f(x)在[－2,2]内的图象如图所示，若函数f(x)的导函数f ′(x)的图象也是连续不间断的，则导函数f ′(x)在(－2,2)内有零点( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少3个
[答案] D
[解析] f ′(x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(－2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故f(x)在(－2，2)内有三个零点，故选D.
13．(2010•安徽江南十校联考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝|x|x B．f(x)＝12x－1＋12
C．f(x)＝ex－e－xex＋e－x D．f(x)＝lgsinx
[答案] C
[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f(x)＝|x|x不存在零点；f(x)＝12x－1＋12不存在零点；f(x)＝ex－e－xex＋e－x的定义域为全体实数，且f(－x)＝e－x－exe－x＋ex＝－f(x)，故此函数为奇函数，且令f(x)＝ex－e－xex＋e－x＝0，得x＝0，函数f(x)存在零点；f(x)＝lgsinx不具有奇偶性．
14．(文)(2011•山东济宁一模)已知a是函数f(x)＝2x－log12 x的零点，若0
C．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定
[答案] B
[解析]
分别作出y＝2x与y＝log12 x的图象如图，
当0
(理)(20 10•安徽合肥质检)已知函数f(x)＝2x－1 x≤0fx－1＋1 x>0，把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )
A．an＝nn－12(n∈N*)
B．an＝n(n－1)(n∈N*)
C．an＝n－1(n∈N*)
D．an＝2n－2(n∈N*)
[答案] C
[解析] 当x≤0时，f(x)＝2x－1；当0
15．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．
[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．
∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为
y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝600x＋6x＋594＝2600x•6x＋ 594＝714.
当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取得等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．
(理)(2011•日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000t，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)．
(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；
(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？
[解析] (1)工厂的实际年利润为：
w＝2000t－st(t≥0)．
w＝2000t－st＝－s(t－1000s)2＋10002s，
当t＝(1000s)2时，w取得最大值．
所以工厂取得最大年利润的年产量t＝(1000s)2(吨)．
(2 )设农场净收入为v元，
则v＝st－0.002t2.
将t＝(1000s)2代入上式，
得v＝10002s－2×10003s4.
又v′＝－10002s2＋8×10003s5
＝100028000－s3s5，
令v′＝0，得s＝20.
当0
当s>20时，v′<0.
所以当s＝20时，v取得最大值．
因此李明向张林要求赔付价格s为20元/吨时，获得最大净收入．
1．(2010•江苏南通九校)若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则1m＋1n的取值范围是( )
A．(3.5，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(4.5，＋∞)
[答案] B
[分析] 欲求1m＋1n的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f(x)与g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标，因为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称，又因直线y＝－x＋4垂直于直线y＝x，指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标之和是直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．
[解析] 令ax＋x－4＝0得ax＝－x＋4，令logax＋x－4＝0得logax＝－x＋4，
在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝logax，y＝－x＋4的图象，结合图形可知，n＋m为直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，由y＝xy＝－x＋4，解得x＝2，所以n＋m＝4，
因为(n＋m)1n＋1m＝1＋1＋mn＋nm≥4，又n≠m，故(n＋m)1n＋1m>4，则1n＋1m>1.
2．(2011•温州十校模拟)已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0,8)
C．(2,8) D．(－∞，0)
[答案] B
[解析] 当m≤0时，显然不合题意；当m>0时，f(0)＝1>0，①若对称轴4－m2m≥0即0
C．3对 D．4对
[答案] C
[分析] 由“k级矩形”函数的定义可知，f(x)＝x3的定义区间为[a，b]时，值域为[a，b]，可考虑应用f(x)的单调性解决．
[解析] ∵f(x)＝x3在[a，b]上单调递增，
∴f(x)的值域为[a3，b3]．
又∵f(x)＝x3在[a，b]上为“1级矩形”函数，
∴a3＝ab3＝b，解得a＝－1b＝0或a＝0b＝1或a＝－1b＝1，
故满足条件的常数对共有3对．
[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．
4.
如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )
[答案] C
[解析] A、B、D的面积都是随着t的增大而增长的速度越来越快，到t＝a2时，增长的速度又减慢，而C图则从t＝a2开始匀速增大与f(t)不符．
5．(2010•天津市南开区模考)已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少1个
[答案] D
[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图 象，a>1时，如图(1)，0
[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．
6．设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[1,2]上有零点的概率为( )
A.12 B.58
C.1116 D.34
[答案] C
[解析] 因为f(x)＝x3＋ax－b，所以f ′(x)＝3x2＋a.因为a∈{1,2,3,4}，因此f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则
f1＝1＋a－b≤0f2＝8＋2a－b≥0，解得a＋1≤b≤8＋2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8.a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.
7．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
[解析] 令g(x)＝x3－22－x，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，g(3)>0，g(4)>0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)．
8．(2010•福建理，4)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] 令x2＋2x－3＝0得，x＝－3或1
∵x≤0，∴x＝－3，令－2＋lnx＝0得，lnx＝2
∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．
9．(2011•龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0
[答案] C
[解析] 设BC＝x，则DC＝16－x，由x≥a16－x≥4得a≤x≤12，矩形面积S＝x(16－x) (a≤x≤12)，显然当a≤8时，矩形面积最大值U＝64，为常数，当a>8时，在x＝a时，矩形面积取最大值u＝a(16－a)，在[a,12]上为减函数，故选C.
10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.
①有三个实根
②当x<－1时，恰有一实根
③当－1
正确的有________．
[答案] ①②
[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，
即f(－2)•f(－1)<0，
∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．
又∵f(0)＝0.01>0，结合图象知f(x)＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确．
又∵f(0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f(1)>0.所以f(x)＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f(x)＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．
由f(1)>0结合图象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．