2015高考理科数学基本初等函数、导数及其应用一轮复习题
详细内容
第1课时 函数及其表示
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
[对应学生用书P9]
【梳理自测】
一、函数的基本概念
1．函数f(x)＝lg(4－x2)的定义域为( )
A．[－2，2] B．(－2，2)
C．[0，2] D．(0，2)
2．函数y＝16－4x的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0，4]
C．[0，4) D．(0，4)
3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x
B．f(x)＝lg x＋1x－1，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)
C．f(u)＝1＋u1－u，g(v)＝1＋v1－v
D．f(x)＝(x)2，g(x)＝x2
答案：1.B 2.C 3.C
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．
(5)函数的表示法．
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．
二、映射
设A＝{0，1，2，4}，B＝12，0，1，2，6，8，判断下列对应关系是A到B的映射．( )
A．f：x→x3－1 B．f：x→(x－1)2
C．f：x→2x－1 D．f：x→2x
答案：C
◆此题考查了映射的概念：设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
三、分段函数
(2012•高考江西卷)设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x＞1，
则f(f(3))＝( )
A.15 B．3
C.23 D.139
答案：D
◆此题主要考查了以下内容：
(1)定义：若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【指点迷津】
1．对映射定义搞清以下几点
(1)映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应．
(2)“对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”；对应关系未必都能用解析式表达．
(3)A中的每一个元素都有象，且唯一；B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一．
(4)若对应关系为f，则a的象记为f(a)．
如“某班内的全体学生”与“这次考试的数学成绩”对应，就是一个从“学生集合”到“成绩集合”的映射．
2．函数与映射的区别与联系
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．
(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．分段函数不能认为是多个函数，仍为一个函数．
[对应学生用书P10]
考向一 求函数的定义域
(1)(2014•湖南省五市十校联考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．
(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．
【审题视点】 (1)使根式和对数式有意义，求x的范围．
(2)明确2x与f(x)中x的含义，从而构造不等式求解．
【典例精讲】 (1)由条件得1－2log6x≥0x＞0，
解得log6x≤12＝log66x＞0，所以函数的定义域为(0，6]．
(2)∵f(2x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，
∴12≤2x≤2，
故f(x)的定义域为[12，2]．
【类题通法】 简单函数定义域的类型及求法
①已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．②对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．③对抽象函数：(?)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(?)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
1．(2014•潍坊三模)设全集U＝R，集合A＝xy＝lnx－1x，
则∁UA＝( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[0，1]
C．(0，1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选B.A＝xx－1x＞0＝{x|x＞1或x＜0}，
∴∁UA＝{x|0≤x≤1}．
考向二 分段函数及其应用
设函数f(x)＝21－x，x≤11－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．(1，＋∞) D．[0，＋∞)
【审题视点】 对于分段函数应分段求解，然后再求其并集．
【典例精讲】 f(x)≤2⇔x≤121－x≤2或x＞11－log2x≤2⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.
【答案】 D
【类题通法】 首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
2．(2014•温州市高三调研)设函数f(x)＝x3，0≤x＜5f（x－5），x≥5，那么f(2 014)＝( )
A．64 B．16
C．4 D．1
解析：选A.根据题意，当x≥5时，f(x)＝f(x－5)，
∴f(2 014)＝f(4)，而当0≤x＜5时，f(x)＝x3，
∴f(4)＝43＝64，故选A.
考向三 求函数解析式
(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；
(2)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
【审题视点】 (1)(2)利用换元法或配凑法；(3)利用待定系数法；(4)构造方程组求解．
【典例精讲】 (1)由于fx＋1x＝x2＋1x2
＝x＋1x2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(2)令2x＋1＝t，得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg 2t－1，
又x＞0，所以t＞1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg 2x－1(x＞1)．
(3)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
因此应有a＝25a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)①
以－x代x有：2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)②
由①②联立消去f(－x)，得
f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1，1)．
【类题通法】 函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
3．已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)的解析式．
解析：∵2f(x)＋f1x＝3x，①
∴将x用1x替换，得2f1x＋f(x)＝3x，②
由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠0)，
即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠0)．
[对应学生用书P11]
分段函数的规范答题
(2014•湖南省五市十校高三联考)已知函数f(x)＝－x－1（x＜－2）x＋3（－2≤x≤12）（x∈R）.5x＋1（x＞12）
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
【审题视点】 (1)讨论分段函数的图象求其最低点．
(2)当p、q为真时，求出m的范围，再根据题意确定p、q的真假求m.
【思维流程】
画出f(x)的图象．
利用图象求最值．
p为真，解不等式f(x)min≥m2＋2m－2.
q为真，解不等式m2－1＞1.
确定p、q的真假，求m.
【规范解答】 (1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.(4分)
(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；
对于命题q：m2－1＞1，故m＞2或m＜－2.(6分)
由于“p或q”为真，“p且q”为假，则
①若p真q假，则－3≤m≤1－2≤m≤2，解得－2≤m≤1.(9分)
②若p假q真，则m＞1或m＜－3m＜－2或m＞2，
解得m＜－3或m＞2.
故实数m的取值范围是
(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．(12分)
【规范建议】 (1)中也可分别求出各段函数的最小值，再找其中的最小值即为该函数的最小值．
(2)先按p、q分别为真时求m的范围，若为假，就是为真时的m的补集．
1．(2013•高考江西卷)函数y＝xln(1－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(0，1] D．[0，1]
解析：选B.由x≥01－x＞0，解得0≤x＜1，故选B.
2．(2013•高考全国大纲卷)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1，1) B.－1，－12
C．(－1，0) D.12，1
解析：选B.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，求函数f(g(x))的定义域，是求满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值集合．
要使函数有意义，需满足－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－12，即所求函数的定义域为－1，－12.
3．(2013•高考陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数， 则对任意实数x, y, 有( )
A. [－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
解析：选D.结合特殊值利用排除法求解．
A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；
B，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3，2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]；
C，取x＝y＝1.6，则[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x＋y]>[x]＋[y]．
排除A，B，C，选D.
4．(2013•高考福建卷)已知函数f(x)＝2x3，x＜0，－tan x，0≤x＜π2，
则ffπ4＝________．
解析：分步求函数值，先内后外．
∵π4∈0，π2，
∴fπ4＝－tan π4＝－1，
∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
答案：－2