2013高三数学理科3月调考试题（带答案）

详细内容

湖北省八市2013年高三年级三月调考
数学（理科）试题

本试卷共4页,全卷满分150分，考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。
２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效。
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数 的共轭复数是
A． B． C． D．
2．已知命题 ，那么命题 为
A． B．
C． D．
3.执行右边的框图，若输入的 是 ，则输出 的值是
A．120 B．720
C．1440 D．5040
4.不等式组 表示的平面区域是
A．矩形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形
5.设 ，函数 的导函数是 ，且 是奇函数，则 的值为
A． B． C． D．
6．如图，设 是图中边长为2的正方形区域， 是函数
的图象与 轴及 围成的阴影区域．向 中随机投一点，
则该点落入 中的概率为
A． B． C． D．
7．下列结论正确的是
①“ ”是“对任意的正数 ，均有 ”的充分非必要条件
②随机变量 服从正态分布 ，则
③线性回归直线至少经过样本点中的一个
④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为 ,中位数为 ,众数为 ，则有
A．③④ B．①② C． ①③④ D．①④
8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把 个面包分给 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小 份为
A． B． C． D．
9．已知函数 ，则函数 的零点个数是
A．4 B．3 C． 2 D．1
10．抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，弦 中点 在准线 上的射影为 的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)
（一）必做题（11―14题）
11．在 的展开式中，各项系数的和等于64，那么此
展开式中含 项的系数 ▲ .

12．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形
(单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 ___▲___ ．

13. 函数 的图象为 ，如下结论中正确的是 ▲ ．
（写出所有正确结论的编号）
① 图象 关于直线 对称； ② 图象 关于点 对称；
③ 函数 在区间 内是增函数；
④ 由 的图象向右平移 个单位长度可
以得到图象 ．
14．如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是
每行每列都成等差数列，记第 行第 列的数为
，则
（Ⅰ） ▲ ；
（Ⅱ）表中数82共出现 ▲ 次．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）
15.（选修4-1：几何证明选讲）如图所示，圆 的直径 ，
为圆周上一点， ，过 作圆的切线 ，过 作
的垂线 ，垂足为 ，则 ▲ ．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）设直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线 的方程为 ，若直线 与 间的距离为 ，则实数 的值为 ▲ .

三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本题满分12分）已知A、B、C为 的三个内角且向量
共线。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角 的对边分别是 ，且满足 ，试判断 的形状．

18．（本题满分12分）已知等差数列 的首项 ，公差 ．且 分别是等比数列 的 ．
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 对任意自然数 均有 … 成立，求 … 的值.

19．（本题满分12分）如图，在长方体 中，
已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱 ，
为 中点， 为 中点， 为 上一个动点.
（Ⅰ）确定 点的位置，使得 ；
（Ⅱ）当 时，求二面角 的平
面角余弦值.
20．（本题满分12分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以 相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第 层第 个竖直通道（从左至右）的概率为 ，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第 层的第 个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题.
（Ⅰ）试求 及 的值，并猜想 的表达式；（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第 个竖直通道得到分数为
，其中 ，试求 的分布列
及数学期望．

21．（本题满分13分）已知△ 的两个顶点 的坐标分别是 ，且 所在直线的斜率之积等于 ．
（Ⅰ）求顶点 的轨迹 的方程，并判断轨迹 为何种圆锥曲线；
（Ⅱ）当 时，过点 的直线 交曲线 于 两点，设点 关于 轴的对称点为 ( 不重合) 试问：直线 与 轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

22．（本题满分14分）已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，函数 取得极大值，求实数 的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数 在区间 内存在导数，则存在 ，使得 . 试用这个结论证明：若函数 （其中 ），则对任意 ，都有 ；
（Ⅲ）已知正数 满足 ，求证：对任意的实数 ，若 时，都有 .

2013年湖北省八市高三三月联考
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B
二、填空题：（每小题5分，5小题共25分）
必考题：11．135 12． 13．①②③ 14．(Ⅰ) 82 (Ⅱ) 5
选考题：15．30º 16．9或-11
∴C= ……………………………6分
（Ⅱ）方法1：由已知 （1）
根据余弦定理可得： （2） ……………………8分
（1）、（2）联立解得： ………………………………………10分
又. C= ，所以△ 为等边三角形， ………………12分
方法2：
由正弦定理得：
……………………8分
……………………………10分
∴ ， ∴在△ 中 ∠
又. C= ， 所以 △ 为等边三角形， ……………………………12分
方法3：由（Ⅰ）知C= ，又由题设得： ，
在 中根据射影定理得：
……………………8分
……………………………10分
又. C= ， 所以 △ 为等边三角形， ……………………………12分
18.（Ⅰ）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列
∴ ……………………………2分
∴ ……………………………4分
又∵ .　


……………………………12分
19.方法一：
(Ⅰ)如图，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ，则
易得 ………………2分
由题意得 ,设
又
则由 得 ，
∴ ,得 为 的四等分点.………………………6分

(Ⅱ)易知平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为
则 ,得 ，取 ，得 ， ……………10分
∴ ，∴二面角 的平面角余弦值为 .12分
方法二：
（Ⅰ）∵ 在平面 内的射影为 ，且四边形 为正方形， 为中点， ∴
同理， 在平面 内的射影为 ，则
由△ ～△ ， ∴ ,得 为 的四等分点. …………………6分
（Ⅱ）∵ 平面 ,过 点作 ，垂足为 ；
连结 ，则 为二面角 的平面角；…………………………8分
由 ，得 ,解得
∴在 中， ,
∴ ；∴二面角 的平面角余弦值为 . …12分
20.（Ⅰ）因为小弹子落入第 层的第 个通道的次数服从二项分布，则： ， ……………………………1分
……………………………3分
……………………………4分
……………………………6分
（Ⅱ）依题： ．
由（Ⅰ）知，

……………………9分
所以 的分布列如下表：
123

……………………11分
故 ……………………………12分
21. .（Ⅰ）由题知：
化简得： ……………………………2分
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点；
当 时 轨迹 表示以 为圆心半径是１的圆，且除去 两点；
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆，且除去 两点；
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的双曲线，且除去 两点；
……………………………6分
（Ⅱ）设
依题直线 的斜率存在且不为零，则可设 : ，
代入 整理得
， ， ………………………………9分
又因为 不重合，则
的方程为 令 ，
得
故直线 过定点 . ……………………………13分
解二：设
依题直线 的斜率存在且不为零，可设 :
代入 整理得：
, ， ……………………………9分
的方程为 令 ，
得
直线 过定点 ……………………………13分
22.（Ⅰ）由题设，函数的定义域为 ，且
所以 ，得 ，此时.
当 时， ，函数 在区间 上单调递增；
当 时， ，函数 在区间 上单调递减.
函数 在 处取得极大值，故 …………………………4分
（Ⅱ）令 ，
则 .
因为函数 在区间 上可导，则根据结论可知：存在
使得 …………………………7分
又 ，
当 时， ，从而 单调递增， ；
当 时， ，从而 单调递减， ；
故对任意 ，都有 . …………………………9分
（Ⅲ） ，且 ， ，

同理 ， …………………………12分
由（Ⅱ）知对任意 ，都有 ，从而
．
…………………………14分