2015高考数学相似三角形的判定及有关性质一轮复习测试
详细内容
2015高考数学相似三角形的判定及 有关性质一轮复习测试
【选题明细表】
知识点、方法题号
平行线截割定理及应用1、4、9、11、15
相似三角形的判定与性质2、6、7、8、9、10、11、13、14
直角三角形中的射影定理3、5、12
一、选择题
1.
如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AE= 2,AC=3,BC=4,则BF的长为( B )
(A) (B)
(C) (D)
解析:因为DE∥BC,
所以 = = ,①
因为DF∥AC,
所以 = ,②
由①②得 = ,
解得CF= .
故BF=4- = .故选B.
2.
如图所示,▱AB CD中,AE∶EB=2∶5,若△AEF的面积等于4 cm2,则△CDF的面积等于( D )
(A)10 cm2(B)16 cm2
(C)25 cm2(D)49 cm2
解析:▱ABCD中,△AEF∽△CDF,
由AE∶EB=2∶5,得AE∶CD =2∶7,
∴ = 2= 2,
∴S△CDF= 2×S△AEF= ×4=49 (cm2).故选D.
3.一个直角三角形的一条直角边为3,斜边上的高为 ,则这个三角形的外接圆半径是( B )
(A)5(B) (C) (D)25
解析:长为3的直角边在斜边上的射影为 = ,故由射影定理知斜边长为 =5,因此这个直角三角形的外接圆半径为 .故选B.
4.
如图所示,在△ABC中,MN∥DE∥BC,若AE∶EC=7∶3,则DB∶AB的值为( C )
(A)3∶7(B)7∶3
(C)3∶10(D)7∶10
解析:∵MN∥DE∥BC,
∴ = = ,
∴ = ,
∴ = ,
∴ = .故选C.
二、填空题
5.
已知圆O的直径AB=4,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D,若CD= ,则AC= .
解析:因AB为圆O的直径,
所以∠ACB=90°,
设AD=x,
因为CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD•DB,
即( )2=x(4-x).
整理得x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.
当AD=1时,得AC=2;
当x=3时,得AC=2 .
答案:2或2
6.
如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC,AB=15,AF=4,则DE= .
解析:设DE=x,
∵DE∥AC,EF∥BC,
∴ = ,
解得BE= .
∴ = = = .
又∵AD平分∠BAC,
∴ = = = ,解得x=6.
答案:6
7 .
如图所示,矩形ABCD中,E是BC上的点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则AB的长为 .
解析:法一 ∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵AE⊥DE,
∴∠AEB+∠CED=90°.
∴∠BAE=∠CED,
∴Rt△ABE∽Rt△ECD,
∴ = ,
即 = ,
∴AB=2.
法二 过E作EF⊥AD于F.
由题知AF=BE=4,
DF=CE=1 .
则EF2=AF•DF=4.
∴AB=EF=2.
答案:2
8.
(2013年高考陕西卷)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE= .
解析:由BC∥PE,得∠C=∠PED,
又∠A=∠C,
得∠PED=∠A,
∠P为△DPE与△EPA的公共角,
所以△PED∽△PAE, = ,PE2=PD•PA.
由PD=2,DA=1,
得PA=3,PE= .
答案:
9.
(2013陕西师大附中高三第四次模拟)如图所示,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延 长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF= ,则线段CD的长为 .
解析:由相交弦定理得
AF•FB=EF•FC,
所以FC= =2,
连接BC、BE,如图所示,
则∠1=∠2,∠2=∠A,
∴∠A=∠1,
又∠CBF=∠ABC,
∴△CBF∽△ABC,
由 = ,得BC=2,
由 = ,得AC=4,
又由平行线等分线段定理得 = ,
解得CD= .
答案:
10.
如图所示,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为 .
解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E是半圆周上的两个三等分点,
所以AE∥BC,AE= BC=2,
所以△AFE∽△DFB,
所以 = .
在△AOD中,
∠AOD=60°,AO=2,AD⊥BC,
故OD=AOcos ∠AOD=1,AD=AOsin ∠AOD= ,
所以BD=1.故AF= •DF=2(AD-AF).
解得AF= .
答案:
11.
如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F分 别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 .
解析:延长AD、BC交于点H,
由DC∥EF知 = 2= ,
∴ = ,
由DC∥AB知 = 2= ,
∴ = ,
∴ = .
答案:7∶5
12.
(2013年高考湖北卷)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则 的值为 .
解析:连接AC,BC,则AC⊥BC.
∵AB=3AD,
∴AD= AB,BD= AB,
OD= AB.
又AB是圆O的直径,OC是圆O的半径,
∴OC= AB.
在△ABC中,根据射影定 理有CD2=AD•BD= AB2.
在△OCD中,根据射影定理有
OD2=OE•OC,CD2=CE•OC,
可得OE= AB,CE= AB,∴ =8.
答案:8
三、解答题
13.
如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE= CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD.
∴∠ABF=∠CEB.
∴△ABF∽△CEB.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥ BC,AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
∵ DE= CD,
∴ = = ,
= = .
∵S△DEF=2,
∴S△CEB=18,S△ABF=8.
∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
∴S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.
14.
(2012高考新课标全国卷)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,
所以DE∥BC.
又已知CF∥AB,
故四边形BCFD是平行四边形,
所以CF=BD=AD.
而CF∥AD,连 接AF,
所以四边形ADCF是平行四边形,
故CD=AF.
因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.
(2)因为FG∥BC,故GB=CF.
由(1)可知BD=CF,
所以GB=BD.
所以∠BGD=∠BDG.
由BC=CD知,∠CBD=∠CDB.
而 ∠DGB=∠EFC=∠DBC,
故△BCD∽△GBD.
15.
如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.
(1)求证:OE=OF;
(2)求: + 的值;
(3)求证: + = .
(1)证明:∵EF∥AD,AD∥BC,
∴EF∥AD∥BC.
∵EF∥BC,∴ = , = .
∵EF∥AD∥BC,
∴ = .
∴ = ,∴OE=OF.
(2)解:∵OE∥AD,
∴ = .
∴由(1)知, = ,
∴ + = + = =1.
(3)证明:由(2)知 + =1,
∴ + =2.
又EF=2OE,
∴ + =2,
∴ + = .