2015届高考理科数学一轮第八章平面解析几何复习题（附答案）
详细内容
第1课时 直线及其方程
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．
[对应学生用书P127]
【梳理自测】
一、直线的倾斜角与斜率
1．(教材改编)直线过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为( )
A.23 B.32
C．－23 D．－32
2．(教材改编)直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
答案：1.C 2.B
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
②倾斜角的取值范围：[0°，180°)．
(2)直线的斜率
①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．
②经过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y1－y2x1－x2．
二、直线方程
1．(教材改编)过点(－1，2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A.3x－3y＋6＋3＝0 B.3x－3y－6＋3＝0
C.3x＋3y＋6＋3 D.3x＋3y－6＋3＝0
2．已知直线l的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________．
3．经过两点M(1，－2)，N(－3，4)的直线方程为________．
答案：1.A 2.x－3y－2＝0 3.3x＋2y＋1＝0
◆以上题目主要考查了以下内容：
直线方程的五种形式
名称方程适用范围
点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线
斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线
两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)
不含垂直于坐标轴的直线
截距式xa＋yb＝1(ab≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用
【指点迷津】
1．一个关系――直线的倾斜角和斜率的关系
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应
α0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°
k0k＞0不存在k＜0
2.两种方法――求直线方程
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；
(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
3．三个因素――确定直线的倾斜角
①前提：直线l与x轴相交；②基准：x轴；③方向：x轴正向与l向上的方向．
[对应学生用书P128]
考向一 直线的倾斜角与斜率
(1)若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.π6，π3 B.π6，π2
C.π3，π2 D.π3，π2
(2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．
【审题视点】 确定直线过的定点，结合图象，使直线绕定点转动，使之符合题意，找出边界线所处的位置．
【典例精讲】 (1)由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为π6，π2.
(2)如图，由斜率公式，得
kAP＝1－（－3）1－2＝－4，
kBP＝1－（－2）1－（－3）＝34，
∴k≥34或k≤－4.
【答案】 (1)B (2)(－∞，－4]∪[34，＋∞)
【类题通法】 直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
1．(2014•贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜15 B．k＞1或k＜12
C．k＞15或k＜1 D．k＞12或k＜－1
解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．
考向二 求直线方程
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
【审题视点】 选择适当的直线方程形式，
把所需要的条件求出即可．
【典例精讲】 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，
∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，
∵l过点(3，2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－14×3＝－34.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组x＝1，2x＋y－6＝0，
求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组2x＋y－6＝0，y＋1＝k（x－1）.
得两直线交点为x＝k＋7k＋2y＝4k－2k＋2.
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.
∴k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52
解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
【类题通法】 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
2．(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程；
(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，
设所求直线方程为x2a＋ya＝1，
将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，
此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
当直线过原点时，斜率k＝－25，
直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0，
综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
考向三 直线方程的应用
为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
【审题视点】 首先明确题目的要求，借助直线方程解决，需要建立直角坐标系，然后设出参数进行求解．
【典例精讲】 如图所示，建立平面直角坐标系，则
E(30，0)、F(0，20)，
∴直线EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|•|PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20－23m.
∴S＝(100－m)80－20＋23m
＝－23(m－5)2＋18 0503(0≤m≤30)．