2012年高考数学文科试题分类汇编：平面向量

详细内容

2012高考文科试题解析分类汇编：平面向量
一、选择题
1.【2012高考全国文9】 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。
【解析】因为底面的边长为2，高为 ，且连接 ，得到交点为 ，连接 ， ，则点 到平面 的距离等于 到平面 的距离，过点 作 ，则 即为所求，在三角形 中，利用等面积法，可得 ，故选答案D。
2.【2012高考重庆文6】设 ，向量 且 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
3.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa
D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|
【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。
【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实
数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异 向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
4.【2012高考四川文7】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）
A、 且 B、 C、 D、
【答案】Ｄ
[解析]若使 成立，则 选项中只有D能保证，故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
5.【2012高考陕西文7】设向量 =（1. ）与 =（-1， 2 ）垂直，则 等于 （ ）
A B C .0 D.-1
【答案】C.
【解析】∵向量 与 垂直，∴ ，即 ，∴ ．
∴ ．故选C．
6.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,―1)，b = (2,x).若a •b = 1,则x =
(A) ―1 (B) ― (C) (D)1
【答案】D
【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。
【解析】 ，故选D
7.【2012高考广东文3】若向量 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选
8.【2012高考广东文10】对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 . 若两个非零的平面向量 ， 满足 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则
A. B. C. 1 D.
【答案】D

都在集合 中得：

9.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是
A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0
【答案】D
考点：平面向量的垂直。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量 ， ，
则 。
解答：非零向量 。
。
10.【2012高考天津文科8】在△ABC中， A=90°，AB=1，设点P，Q满足 = ， =(1- ) ， R。若 =-2，则 =
（A） （B） C） （D）2
【答案】B
【解析】如图，设 ，则 ，又 ， ，由 得 ，即 ，选B.
二、填空题
1.【2012高考新课标文15】已知向量 夹角为 ，且 ；则
【答案】
【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单题.
【解析】∵| |= ，平方得 ，即 ，解得| |= 或 （舍）
2.【2012高考安徽文11】设向量 ， ， ，若 ，则 ______.
【答案】

3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P， 且 = .

【答案】18
【解析】设 ，则 ， =
.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
4.【2012高考浙江文15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 =________.
【答案】-16
【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.
【解析】由余弦定理 ，
， ，两式子相加为 ，
，
.
5.【2012高考山东文16】如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时， 的坐标为＿＿＿＿.
【答案】
考点：考查转化化归能力、弧度制、诱导公式等
【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧 ，即圆心角 , ,则 ,所以 ， ，所以 ， ，所以 .
另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，且 ，则点P的坐标为 ，即 .

6.【2012高考江西文12】设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若 ，则 =_______________
【答案】
【解析】由已知可得 ，又因为m为单位向量所以 ，联立解得 或 代入所求即可.
7.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形 中， 点 为 的中点，点 在边 上，若 ，则 的值是 ▲ ．

【答案】 。
【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。
【解析】由 ，得 ，由矩形的性质，得 。
∵ ，∴ ，∴ 。∴ 。
记 之间的夹角为 ，则 。
又∵ 点E为BC的中点，∴ 。
∴
。
8.【2012高考上海文12】在矩形 中，边 、 的长分别为2、1，若 、 分别是边 、 上的点，且满足 ，则 的取值范围是
【答案】[1,4].
【解析1】设 = （0≤ ≤1），
则 = , = ，
则 = =
= + + + ,
又∵ =0，
∴ = ，
∵0≤ ≤1，∴1≤ ≤4，即 的取值范围是[1,4].
【解析2】以向量AB所在直线为 轴，以向量AD所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 ，所以 设 ，根据题意， ，所以
所以 ，所以 ， 即 .

【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.
9.【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则
（Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由 ，得 .设与 同向的单位向量为 ，则 且 ，解得 故 .即与 同向的单位向量的坐标为 .
（Ⅱ）由 ，得 .设向量 与向量 的夹角为 ，则 .
【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.
10【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为________， 的最大值为______。
【答案】1，1
【解析】根据平面向量的数量积公式 ，由图可知， ，因此 ，
，而 就是向量 在 边上的射影，要想让 最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为 ，所以长度为1．
【考点定位】 本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法。