2014南昌二中高考数学最后一次模拟试卷（含答案理科）

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2014南昌二中高考数学最后一次模拟试卷（含答案理科）
一、选择题
1. 对于集合 的子集 则下列集合中必为空集合的是( )

2.设函数 则函数 的定义域是( )

3. 为等差数列, 为前 项和, ,则下列错误的是（ ）

4.下列命题：
①经过三点可以确定一个平面；
②复数 在复平面上对应的点在第四象限；
③已知平面
④若回归直线方程的斜率的估计值是 样本的中心点为 ，则回归直线的方程是： 以上命题中错误的命题个数是（ ）

5. 从 这10个数中选出互不相邻的3个数的方法种数是（ ）

6.在 中， 为三角形内一点且 ,则 ( )

7. 是方程 的两个不等的实数根，且点 在圆 上，那么过点 和 的直线与圆 的位置关系（ ）
相离 相切 相交 随 的变化而变化
8. 两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A事件为”从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B事件为”从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.

9. 执行如图的程序框图，如果输入的 的值是6，那么输出的 的值是

A．15 B．105 C．120 D．720
10. 如图，正方形 的顶点 ， ，顶点 位于第一象限，直线 将正方形 分成两部分，记位于直线 左侧阴影部分的面积为 ，则函数 的图象大致是（ ）

二、填空题
11.计算 .
12. 设双曲线的渐近线为 ，则其离心率为 .
14.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α
上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线
CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n ＝ 。

三、选做题
15. (1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为x＝ty＝t2(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 ( )
A.sin θ＝ρcos2θ B.sin θ＝ρcosθ C.2sin θ＝ρcos2θ D.sin θ＝2ρcos2θ
(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为 （ ）
A.(0,4] B.[0,4) C.[0,4] D.[1,4]

四、解答题
16. （本小题满分12分） 已知函数 ，点 、 分别是函数 图像上的最高点和最低点．
（1）求点 、 的坐标以及 的值；
（2）设点 、 分别在角 、 的终边上，求 的值．

17. （本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令X表示走出迷宫所需的时间。
（I）求X的分布列；
（II）求X的数学期望．

18. （本小题满分12分）设数列 的前 项和为 ，已知 为
常数， ），　 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 ，使 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对 ；若不存在，说明理由．

19. （本小题满分12分）如图. 所在平面外一点, ,若 ,且点 分别在线段 上满足:
(I)求证: 为锐角三角形;
(II)求平面 与平面 所成的角的余弦值．

20. 如图，已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的两条渐近线为 ．过椭圆 的右焦点 作直线 ，使 ，又 与 交于点 ，设 与椭圆 的两个交点由上至下依次为 ， ．
（I）若 与 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆 的方程；
（II）求 的最大值．

21. 已知函数 其中 函数 的导函数是 ，
（I）若对一切 恒成立，求 的取值范围；
（I）是否存在实数 ，使函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由？

20. （本小题满分13分） 已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 是双曲线 上不同于顶点的任意一点，若直线 、 的斜率之积为 。
（I）求双曲线 的离心率 ；
（II）若过点 作斜率为 的直线 ，使得 与双曲线 有且仅有一个公共点，记直线 的斜率分别为 问是否存在实数 使得 ．

21. （本小题满分14分）已知函数
（I）若 在 上是单调增函数，求 的取值范围；
（II）若 求方程 在 上解得个数．

． ……………………………………………………………2分
当 ，即 时， ， 取得最大值 ；
当 ，即 时， ， 取得最小值 ．
因此，点 、 的坐标分别是 、 ． ………………………………4分
． ……………………………………………………6分
（2） 点 、 分别在角 、 的终边上，
， ， …………………………………………8分
， ………………………………………………10分
． ………………………………………………12分
17.解：必须要走到1号门才能走出， 可能的取值为1，3，4，6
， ， ，

1346

分布列为：



（2） 小时


，即 ，……………………………8分
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
因为 ，所以 或 或 ．………………………………………… 10分
当 时，由 得， ，所以 ；
当 时，由 得， ，所以 或 ；
当 时，由 得， ，所以 或 或 ，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对 为：
．……………………………………………12分




所以 为锐角三角形。
(2)以P为原点PB、PA、PC分别为x，
Y，z轴建立坐标系。

设平面ABC的法向量
则
同理求得平面EFC的法向量
两平面的夹角的余弦值
20.解：（1）因为双曲线方程为 ，所以双曲线的渐近线方程为 ．因为两渐近线的夹角为 且 ，所以 ．
所以 ． 所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ， ．
所以椭圆 的方程为 ．………………4分
（2）因为 ，所以直线 与的方程为 ，其中 ．……5分
因为直线 的方程为 ，
联立直线 与 的方程解得点 ．………………………6分
设 ，则 ．……………………………7分
因为点 ，设点 ，则有 ．
解得 ， ．…………………………………………8分
因为点 在椭圆 上，所以 ．
即 ．
等式两边同除以 得
所以 …………………………11分
．………………………12分
所以当 ，即 时， 取得最大值 ．………12分
故 的最大值为 ．………………13分

21.解析：（1）若 则对一切 这与题设矛盾；
又 故

当 单调递减，当 单调递增；
故当 时，
对一切 恒成立，当且仅当
令
当 当 ，当
当且仅当 时，（1）式成立， 的取值集合是
（2）
当 ， 递减
当 ， 递增
若 在 上递减，故不满足要求；
当 在 上递减，在 上递增，若存在
使曲线 在 两点处的切线互相垂直，则
且
由
故（1）式成立，等价于集合 与集合 的交集非空，又 当且仅当 即 时
所以 的取值范围是 。