2013高考数学同角三角函数的基本关系复习课件与测试

详细内容

2013年高考数学总复习 4-2 同角三角函数的基本关系及诱但因为测试 新人教B版

1.(2010•青岛市质检)已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为(　　)
A．－12 B．－32
C.12 D.32
[答案]　A
[解析]　由条件知，π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝π3，
∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝cos2π3＝－cosπ3＝－12，故选A.
2．(文)(2011•山东淄博一模)已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sinα＋cosα＝(　　)
A．－15 B.15
C．－75 D.75
[答案]　B
[解析]　(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝125，
又α∈(－π4，0)，sinα＋cosα>0，
所以sinα＋cosα＝15.
(理)(2011•河北石家庄一模)已知α ∈(0， π)，且sinα＋cosα＝22，则sinα－cosα的值为(　　)
A．－2 B．－62
C.2 D.62
[答案]　D
[解析]　∵sinα＋cosα＝22，0<22<1,0<α<π，
∴π2<α<π，∴sinα－cosα>0.
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝12，
∴2sinαcosα＝－12；
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinα cosα＝32，
∴sinα－cosα＝62.
3．(文)(2011•杭州二检)若a＝(32，sinα)，b＝(cosα，13)，且a∥b，则锐角α＝(　　)
A．15° 　　　B．30°　　　C．45°　　　D．60°
[答案]　C
[解析]　依题意得32×13－sinαcosα＝0，
即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α ＝45°，选C.
(理)已知向量a＝(tanα，1)，b＝(3，－1)，α∈(π，2π)且a∥b，则点Pcosπ2＋α，sinπ－α在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　D
[解析]　∵a∥b，∴tanα＝－3，
∵α∈(π，2π)，∴α＝5π3，
∴cosπ2＋α＝cos13π6＝cosπ6>0，
sin(π－α)＝sin－2π3＝－sin2π3<0，
∴点P在第四象限．
4．(2011•绵阳二诊、长春模拟)已知tanθ>1，且sinθ＋cosθ<0，则cosθ的取值范围是(　　)
A．(－22，0) B．(－1，－22)
C．(0，22) D．(22，1)
[答案]　A
[解析]　如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋5π4<θ<2kπ＋3π2，k∈Z，因此－22
5．(2010•河南南阳调研)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
[答案]　A
[解析]　两式平方后相 加得sin(A＋B)＝12，
∴A＋B＝30°或150°，
又∵ 3sinA＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，
∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.
6．(文)(2011•湖北联考)已知tanx＝sin(x＋π2)，则sinx＝(　　)
A.－1±52 B.3＋12
C.5－12 D.3－12
[答案]　C
[解析]　∵tanx＝sin(x＋π2)，∴tanx＝cosx，
∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝－1±52，
∵－1≤sinx≤1，∴sinx＝5－12.故选C.
(理)(2011•重庆诊断)已知2tanα•sinα＝3，－π2<α<0，则cosα－π6的值是(　　)
A．0 B.32
C．1 D.12
[答案]　A
[解析]　∵2tanαsinα＝3，∴2sin2αcosα＝3，
即21－cos2αcosα＝3，
∴2cos2α＋3cosα－2＝0，
∵|cosα|≤1，∴cosα＝12，
∵－π2<α<0，∴sinα＝－32，∴cosα－π6
＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＝12×32－32×12＝0.
7．(文)(2011•山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tanα＝________.
[答案]　－33
[解析]　由已知得sinα＝－12，
又α∈(－π2，0)，所以cosα＝1－sin2α＝32，
因此tanα＝sinαcosα＝－33.
(理)(2011•盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos (π12－α)＝________.
[答案]　－ 223
[解析]　∵－π<α<－π2，
∴－7π12<5π12＋α<－π12，
∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223，
∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)]
＝sin(5π12＋α)＝－223.
8．设a＝12cos16°－32sin16°，b＝2tan14°1＋tan214°，c＝1－cos50°2，则a、b、c的大小关系为________(从小到大排列)．
[答案]　a[解析]　a＝sin14°，b＝ 2sin14°cos14°cos214°＋sin214°＝sin28°，
c＝sin25°，
∵y＝sinx在(0°，90°)上单调递增，∴a9．(2011•江西上饶四校联考)对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得acosx0＋a≥0成立，则sin(2x0－π6)的值为________．
[答案]　－12
[解析]　若对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得acosx0＋a≥0成立，则cosx0＋1≤0，
又cosx0＋1≥0，所以cosx0＋1＝0，
所以cosx0＝－1，则x0＝2kπ＋π(k∈Z)，
所以sin(2x0－π6)＝sin(4kπ＋2π－π6)
＝sin(－π6)＝－sinπ6＝－12.
10．(文)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求证 ：cos2α＝38.
[解析]　由题设知，sin2α＝4sin2β， ①
tan2α＝9tan2β， ②
①②，得9cos2α＝4cos2β， ③
①＋③，得sin2α＋9cos2α＝4，
即1－cos2α＋9cos2α＝4，
∴cos2α＝38.
(理)(2010•南充市)已知三点：A(4,0)，B(0,4)，C(3cosα，3sinα)．
(1)若α∈(－π，0)，且|AC→|＝|BC→|，求角α的值；
(2)若AC→•BC→＝0，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．
[解析]　(1) 由题得AC→＝(3cosα－4,3sinα)，BC→＝(3cosα，3sinα－4)
由|AC→|＝|BC→|得，
(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2
⇒sinα＝cosα
∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π4.
(2)由AC→•BC→＝0得，3cosα(3cosα－4)＋3sinα(3sinα－4)＝0，
解得sinα＋cosα＝34，两边平方得2sinαcosα＝－716
∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα
＝2sinαco sα＝－716.

11.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　B
[解析]　∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B>90°，∴B>90°－A，∴cosBcosA，故cosB－sinA<0，sinB－cosA>0，选B.
12．(2010•安徽铜陵一中)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝73，则△ABC的面积为(　　)
A.74 B.54
C.72 D.52
[答案]　A
[解析]　∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，
∵tanB＝73，∴sinB＝74，cosB＝34，
∵a＋c＝3，b2＝a2＋c2－2aosB，∴ac＝2，
∴S△ABC＝12acsinB＝74.
13．(文)(2011•哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知cosα＝45，α∈(－π4，0)，则sinα＋cosα等于(　　)
A.15 B．－15
C．－75 D.75
[答案]　A
[解析]　由于cosα＝45，α∈(－π4，0)，
所以sinα＝－35，
所以sinα＋cosα＝15，故选A.
(理)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f ′(x)＝2f(x)，f ′(x)是f(x)的导函数，则1＋sin2xcos2x－sin2x＝(　　)
A．－ 195 B.195
C.113 D．－ 113
[答案]　A
[解析]　f ′(x)＝cosx＋sinx，∵f ′(x)＝2f(x)，
∴cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，∴tanx＝3，∴1＋sin2xcos2x－sin2x＝1＋sin2xcos2x－2sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－2sinxcosx＝2tan2x＋11－2tanx＝－195.
14．已知函数f(x)＝2cosπ3x　x≤2000x－102 x>2000，则f[f(2012)]＝________.
[答案]　－1
[解析]　由f(x)＝2cosπ3x　x≤2000x－102 x>2000得，f(2012)＝2012－102＝1910，f(1910)＝2cosπ3×1910＝2cos(636π＋2π3)＝2cos2π3＝－1，故f[f(2012)]＝－1.
15．已知sin(A＋π4)＝7210，A∈(π4，π2)，求cosA.
[解析]　解法一：∵π4∵sin(A＋π4)＝7210，
∴cos(A＋π4)＝－1－sin2A＋π4＝－210.
∴cosA＝cos[(A＋π4)－π4]＝cos(A＋π4)cosπ4＋
sin(A＋π4)sinπ4＝－210×22＋7210×22＝35.
解法二：∵sin(A＋π4)＝7210，
∴sinA＋cosA＝75，∴sinA＝75－cosA，
代入sin2A＋cos2A＝1中得
2cos2A－145cosA＋4925＝1，
∵π4
16.(2011•潍坊质检)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为－35，45.
(1) 求sin2α＋cos2α＋11＋tanα的值；
(2)若OP→•OQ→＝0，求sin(α＋β)．
[解析]　(1)由三角函数定义得cosα＝－35，sinα＝45，
∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαsinα＋cosαsinα＋cosαcosα
＝2cos2α＝2•－352＝1825.
(2)∵OP→•OQ→＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，
∴sinβ＝sin(α－π2)＝－cosα＝35，
cosβ＝cosα－π2＝sinα＝45.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝45•45＋－35•35＝725.

1．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中a，b，α∈R，且ab≠0，α≠kπ　(k∈Z)．若f(2011)＝5，则f(2012)等于(　　)
A．4 B．3
C．－5 D．5
[答案]　C
[解析]　∵f(2011)＝asin(2011π＋α)＋bcos(2011π＋α)＝－asinα－bcosα＝5，
∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2012)＝asinα＋bcosα＝－5.
2．(2010•全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝(　　)
A.1－k2k B．－1－k2k
C.k1－k2 D．－k1－k2
[答案]　B
[解析]　sin80°＝1－cos280°
＝1－cos2－80°＝1－k2，
所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k.
3．(2010•山东济南模考、烟台市诊断)已知△ABC中，tanA＝－512，则cosA＝(　　)
A.1213 B.513
C．－513 D．－1213
[答案]　D
[解析]　在△ABC中，由tanA＝－512<0知，∠A为钝角，所以cosA<0,1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cosA＝－1213，故选D.
[点评]　学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tanA＝－512，A为三角形内角，即知A为钝角，∴cosA<0，排除A、B；又由勾股数组5,12,13及tanA＝sinAcosA知，|cosA|＝1213，故选D.
4．(2011•山东临沂一模)已知cos(π2－φ)＝32，且|φ| <π2，则tanφ＝(　　)
A．－ 33 B.33
C．－3 D.3
[答案]　D
[解析]　cos(π2－φ)＝sinφ＝32，
又|φ|<π2，则co sφ＝12，所以tanφ＝3.
5．(2010•福建省福州市)已知sin10°＝a，则sin70°等于(　　)
A．1－2a2 B．1＋2a2
C．1－a2 D．a2－1
[答案]　A
[解析]　由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.
6．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°[答案]　C
[解析]　∵sin11°＝cos79°，sin168°＝cos78°，
又∵y＝cosx在[0°，90°]上单调递减，
90°>79°>78°>10°，
∴cos79°∴sin11°7．化简sinkπ－α•cos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]•coskπ＋α＝______(k∈Z)．
[答案]　－1
[解析]　对参数k分奇数、偶数讨论．当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin2nπ＋π－α•cos2nπ－αsin2nπ＋2π＋α•cos2nπ＋π＋α
＝sinπ－α•cosαsinα•cosπ＋α＝sinα•cosαsinα•－cosα＝－1.
当k＝2n(n∈Z)时，原式
＝sin2nπ－α•cos2nπ－π－αsin2nπ＋π＋α•cos2nπ＋α
＝－sinα•－cosα－sinα•cosα＝－1.
所以sinkπ－α•cos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]•coskπ＋α＝－1.