2012年高考数学文科试题分类汇编：圆锥曲线
详细内容
2012高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线
一、选择题
1.【2012高考新课标文4】设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ）
【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.
【解析】∵△ 是底角为 的等腰三角形，
∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故选C.
2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ）
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，
∴ 的实轴长为4，故选C.
3.【2012高考山东文11】已知双曲线 ： 的离心率为2.若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为2，则抛物线 的方程为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
考点：圆锥曲线的性质
解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知 ，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数 ，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为 ，由一条准线方程为 可得该椭圆的焦点在 轴上县 ，所以 。故选答案C
5.【2012高考全国文10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。
6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A.3 B.2 C. D.
【答案】B
【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系.
【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为 ，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则 ，即 ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为 ， ， .
7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（ ），准线方程为x= ,
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).
8.【2012高考四川文11】方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条
【答案】B
[解析]方程 变形得 ，若表示抛物线，则
所以，分b=-2,1,2,3四种情况：
（1）若b=-2， ; （2）若b=2,
以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；
同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.
综上，共有14+9+9=32种
[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
9.【2012高考上海文16】对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】方程 的曲线表示椭圆，常数常数 的取值为 所以，由 得不到程 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 ，因而必要.所以答案选择B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数 的取值情况.属于中档题.
10.【2012高考江西文8】椭圆 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知： ， ， .又已知 ， ， 成等比数列，故 ，即 ，则 .故 .即椭圆的离心率为 .
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 的方程，然后化为有关 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.
11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ： - =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A． - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1[
【答案】A
【解析】设双曲线C ： - =1的半焦距为 ，则 .
又 C 的渐近线为 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， ，即 .
又 ， ， C的方程为 - =1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.
12.【2102高考福建文5】已知双曲线 - =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于
A B C D
【答案】C.
考点：双曲线的离心率。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率 即可。
解答：根据焦点坐标 知 ，由双曲线的简单几何性质知 ，所以 ，因此 .故选C.
二 、填空题
13.【2012高考四川文15】椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
【答案】 ，
[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则ㄏP F1ㄏ+ㄏP F2ㄏ的值为___________________.
【答案】
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。
【解析】由双曲线的方程可知
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差―积―和的转化。
15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由 得 。
∴ ，即 ，解得 。
16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
【答案】 .
【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 的坐标为（0,0），
设 与抛物线的交点为 ，根据题意，知 （-2，-2）， （2，-2）．
设抛物线的解析式为 ，
则有 ，∴ ．
∴抛物线的解析式为 ．
水位下降1米，则 -3，此时有 或 ．
∴此时水面宽为 米．
17.【2012高考重庆文14】设 为直线 与双曲线 左支的交点， 是左焦点， 垂直于 轴，则双曲线的离心率
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
【答案】
【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
19.【2012高考天津文科11】已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ,则
【答案】1，2
【解析】双曲线的 渐近线为 ，而 的渐近线为 ，所以有 ， ，又双曲线 的右焦点为 ，所以 ，又 ，即 ，所以 。
三、解答题
20. 【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
（I）求椭圆的离心率。
（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的斜率的值。
【解析】(Ⅰ) 点 在椭圆上
(Ⅱ) 设 ；则
直线 的斜率
21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点P．
（i）若 ，求直线 的斜率；
（ii）求证： 是定值．
【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得
，∴ 。
由点 在椭圆上，得
∴椭圆的方程为 。
（2）由（1）得 ， ，又∵ ∥ ，
∴设 、 的方程分别为 ， 。
∴ 。
∴ 。①
同理， 。②
（i）由①②得， 。解 得 =2。
∵注意到 ，∴ 。
∴直线 的斜率为 。
（ii）证明：∵ ∥ ，∴ ，即 。
∴ 。
由点 在椭圆上知， ，∴ 。
同理。 。
∴
由①②得， ， ，
∴ 。
∴ 是定值。
【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。
（2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。
22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）
如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ）的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点， =60°.
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）已知△ 的面积为40 ，求a, b 的值.
【解析】（I）
（Ⅱ）设 ；则
在 中，
面积
23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点 在 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程.
【答案】
【解析】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，
点 代入椭圆 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ，
，消去 并整理得 ，
因为直线 与椭圆 相切，所以 ，
整理得 ①
，消去 并整理得 。
因为直线 与抛物线 相切，所以 ，
整理得 ②
综合①②，解得 或 。
所以直线 的方程为 或 。
24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)
已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为 ， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为 时，求k的值
【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。
解：（1）由题意得 解得 .所以椭圆C的方程为 .
（2）由 得 .
设点M,N的坐标分别为 ， ，则 ， ， ， .
所以|MN|= = = .
由因为点A(2,0)到直线 的距离 ，
所以△AMN的面积为 . 由 ，解得 .
25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)
如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线 与椭圆M有两个不同的交点 与矩形ABCD有两个不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时m的值.
【答案】(21)(I) ……①
矩形ABCD面积为8，即 ……②
由①②解得： ，
∴椭圆M的标准方程是 .
(II) ，
设 ，则 ，
由 得 .
.
当 过 点时， ，当 过 点时， .
①当 时，有 ，
，
其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 .
②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 .
③当 时， ， ，
由此知，当 时， 取得最大值 .
综上可知，当 和0时， 取得最大值 .
26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为 ，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。
难度：难。
分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。
解答：
（I）设 ；则
得：点 关于 轴对称（lfxlby）
代入抛物线 的方程得： 抛物线 的方程为
（II）设 ；则
过点 的切线方程为 即
令
设 满足： 及
得： 对 均成立
以 为直径的圆恒过 轴上定点
27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分
在平面直角坐标系 中，已知双曲线
（1）设 是 的左焦点， 是 右支上一点，若 ，求点 的坐标；
（2）过 的左焦点作 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为 （ ）的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ⊥
[解]（1）双曲线 ，左焦点 .
设 ，则 ， ……2分
由M是右支上一点，知 ，所以 ，得 .
所以 . ……5分
（2）左顶点 ，渐近线方程： .
过A与渐近线 平行的直线方程为： ，即 .
解方程组 ，得 . ……8分
所求平行四边形的面积为 . ……10分
（3）设直线PQ的方程是 .因直线与已知圆相切，故 ，
即 (*).
由 ，得 .
设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 .
，所以
.
由(*)知 ，所以OP⊥OQ. ……16分
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 ，它的渐近线为 ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．
28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）
设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线 于 轴的焦点为E，圆F的半径为 ，
则|FE|= ， = ，E是BD的中点，
(Ⅰ) ∵ ，∴ = ，|BD|= ，
设A( ， )，根据抛物线定义得，|FA|= ，
∵ 的面积为 ，∴ = = = ，解得 =2，
∴F(0,1), FA|= ， ∴圆F的方程为： ；
(Ⅱ) 【解析1】∵ ， ， 三点在同一条直线 上, ∴ 是圆 的直径， ,
由抛物线定义知 ，∴ ，∴ 的斜率为 或－ ，
∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，
设直线 的方程为： ，代入 得， ，
∵ 与 只有一个公共点， ∴ = ，∴ ，
∴直线 的方程为： ，∴原点到直线 的距离 = ，
∴坐标原点到 ， 距离的比值为3.
【解析2】由对称性设 ，则
点 关于点 对称得：
得： ，直线
切点
直 线
坐标原点到 距离的比值为 。
29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1， ）到抛物线C： =2px（P＞0）的准线的距离为 。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。
（1）求p,t的值。
（2）求△ABP面积的最大值。
【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.
【解析】
（1）由题意得 ，得 .
（2）设 ，线段AB的中点坐标为
由题意得，设直线AB的斜率为k（k ）.
由 ，得 ，得
所以直线的方程为 ，即 .
由 ，整理得 ，
所以 ， ， .从而得
，
设点P到直线AB的距离为d，则
，设 ABP的面积为S，则 .
由 ，得 .
令 ， ，则 .
设 ， ，则 .
由 ，得 ，所以 ，故 ABP的面积的最大值为 .
30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.[
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为 的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.
【答案】
【解析】（Ⅰ）由 ，得 .故圆Ｃ的圆心为点
从而可设椭圆Ｅ的方程为 其焦距为 ，由题设知
故椭圆Ｅ的方程为：
（Ⅱ）设点 的坐标为 ， 的斜分率分别为 则 的方程分别为 且 由 与圆 相切，得
，
即
同理可得 .
从而 是方程 的两个实根，于是
①
且
由 得 解得 或
由 得 由 得 它们满足①式，故点Ｐ的坐标为
，或 ，或 ，或 .
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.
31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）
设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。
21. 【答案】
解：（Ⅰ）如图1，设 ， ，则由 ，
可得 ， ，所以 ， . ①
因为 点在单位圆上运动，所以 . ②
将①式代入②式即得所求曲线 的方程为 .
因为 ，所以
当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为 ， ；
当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为 ， .
（Ⅱ）解法1：如图2、3， ，设 ， ，则 ， ，
直线 的方程为 ，将其代入椭圆 的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为 ， ，于是由韦达定理可得
，即 .
因为点H在直线QN上，所以 .
于是 ， .
而 等价于 ，
即 ，又 ，得 ，
故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ，
都有 .
解法2：如图2、3， ，设 ， ，则 ，
，
因为 ， 两点在椭圆 上，所以 两式相减可得
. ③
依题意，由点 在第一象限可知，点 也在第一象限，且 ， 不重合，
故 . 于是由③式可得
. ④
又 ， ， 三点共线，所以 ，即 .
于是由④式可得 .
而 等价于 ，即 ，又 ，得 ，
故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ，都有
.
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线 与圆 有一个公共点 ，且在点 处两曲线的切线为同一直线 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线， 、 的交点为 ，求 到 的距离。
【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以 及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。
解：（1）设 ，对 求导得 ，故直线 的斜率 ，当 时，不合题意，所心
圆心为 ， 的斜率
由 知 ，即 ，解得 ，故
所以
（2）设 为 上一点，则在该点处的切线方程为 即
若该直线与圆 相切，则圆心 到该切线的距离为 ，即 ，化简可得
求解可得
抛物线 在点 处的切线分别为 ，其方程分别为
① ② ③
②－③得 ，将 代入②得 ，故
所以 到直线 的距离为 。
【点评】该试题出题的角 度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。
33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)
如图，动圆 ,1
(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。
【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。
【解析】(Ⅰ)设A( ， )，则矩形ABCD的面积S= ，
由 得， ，
∴ = = ，
当 ， 时， =6，
∴ = 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. ……6分
(Ⅱ) 设 ，又知 ，则
直线 的方程为 ①
直线 的方程为 ②
由①②得 ③
由点 在椭圆 上，故可得 ，从而有 ，代入③得
∴直线 与直线 交点M的轨迹方程为 ……12分
【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。
34.【2012高考江西文20】（本小题满分13分）
已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x0,y0）(-2
代入式子可得 整理得
（2）设 ；则 ，
得： 交 轴于点
与 联立：
可求
35.【2012高考四川文21】(本小题满分12分)
如图，动点 与两定点 、 构成 ，且直线 的斜率之积为4，设动点 的轨迹为 。
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 ，且 ，求 的取值范围。
[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。
于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为 ，MB的斜率为 .
由题意，有 • =4
化简可得，4x2-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分
（2）由 消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (?)
对于方程(?)，其判别式 =（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0
而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.
结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1
设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根.
因为 ,所以 ，
所以 。
此时
所以
所以
综上所述， …………………………12分
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。
36.【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且△ 是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过 作直线交椭圆于 ， ，求△ 的面积
【答案】：（Ⅰ） + =1（Ⅱ）
，
（*）
设 则 是上面方程的两根，因此
又 ，所以
由 ，知 ，即 ，解得
当 时，方程（*）化为：
故 ，
的面积 当 时，同理可得（或由对称性可得） 的面积 综上所述， 的面积为 。
37.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）
已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程。
【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆 的方程为 ，
其离心率为 ，故 ，则 ．
故椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）解法一： 两点的坐标分别为 ，
由 及（Ⅰ）知， 三点共线且点 不在 轴上，
因此可设直线 的方程为 ．
将 代入 中，得 ，所以 ，
将 代入 中，得 ，所以 ，
又由 ，得 ，即 ．
解得 ，故直线 的方程为 或 ．
解法二： 两点的坐标分别为 ，
由 及（Ⅰ）知， 三点共线且点 不在 轴上，
因此可设直线 的方程为 ．
将 代入 中，得 ，所以 ，
又由 ，得 ， ，
将 代入 中，得 ，即 ，
解得 ，故直线 的方程为 或