2005-2012年福建高考数学试题集（文科8套）

详细内容

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数　学（文史类）
第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合P=|x| |x-1|≤1，x∈R|,Q=|x|x∈N|,则P∩Q等于
　A.P B.Q C.|1,2| D.|0,1,2|
(2)不等式 ＞0的解集有
A.｜x｜x＜- 或x＞ B.|x|-＜- ＜x＜ |
C.|x|x＞ D.|x|x＞-
(3)已知等差数列｜an|中，a7+a9=16 , a4=1,则a12的值是
A.15 B.30 C.31 D.64
(4)函数y=cos2x在下列哪个区间上是减函数
A.[- ， ]　　　　　B. [ ， ] C. [0， ] D. [- ， ]
(5)下列结论正确的是
A.当x＞0且x≠0时，lgx+ ≥2 B.当x＞ 时， + ≥2
C.当x≥2时，x+ 的最小值为2 D.当0＜x≤2时，x- 无最大值
(6)f(x)= 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是
A.a＞1,b＜0 B.a＞1,b＞0
C.0＜a＜1,b＜0 D.0＜a＜1,b＜0
(7)已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
其中真命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
(8)已知p∶a≠0,q∶ab≠0,则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(9)已知定点A、B，且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是
A. B. C. D.5
(10)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
A.300种 B.240种 C.144种 D.96种
（11）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是
A.aros B.
C.aros D.
(12) f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0，则方程 f(x)＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A.5 B.4 C.3 D.2

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
（13）（2 - ）6展开式中的常数项是 （用数字作答）.
（14）在△ABC中∠A=90°, =(k,1), =(2,3),则k的值是 .
（15）非负实数x、y满足 则x+3y的最大值为 .
（16）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于 对称，则函数g(x)=
(注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形).
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）(本小题满分12分)
已知- ＜x＜0,sinx+cosx=
(Ⅰ)求sinx-cosx的值;
(Ⅱ)求 的值.
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两人罚球线投球命中的概率为 与 .
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率;
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
（19）（本小题满分12分）
已知|an|是公比为q的等比数列，且a1、a3、a2成等差数列.
（Ⅰ）求q的值;
（Ⅱ）设|bn|的以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理则.
（20）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解+析式;
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
（21）（本小题满分12分）
如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB, F为CE上的点，且BF⊥平面ACE .
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE;
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小;
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
（22）（本小题满分12分）
已知方向向量v=(1, )的直线l过点(0,-2 )和椭圆C: (a＞b＞0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N满足 (O为原点).若存在，求直线m的方程;若不存在，请说明理由.

数学试题（文史类）参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
(1)D (2)A (3)A (4)C (5)B (6)D
(7)C (8)B (9)C (10)B (11)D (12)B
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
（13）240 （14）- （15）9
（16）如：①x轴，-3-log2x ②y轴，3+log2(-x)
③原点，-3-log2(-x) ④直线y=x, 2x-3
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.
解法一：（Ⅰ）由sinx+cosx= ,平方得sin2x+2sinxcos2x= ,
整理得 2sinxcosx= .

故 sinx-cosx=- .
（Ⅱ）
解法二：（Ⅰ）联立方程
由①得sinx= -cosx,将其代入②，整理得
25cos2x-5cosx-12=0,∴cosx=- 或cosx= .
∵- ＜x＜0,∴
故sinx-cosx＝- .
（Ⅱ）
（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力.满分12分.
解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B，则
P(A)= ,P=(B)= ,P( )= ,P( )= .
∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为A• + •B,
∴P(A• + •B)=P(A• )+( •B)= × + × ＝ .
答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为 .
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为
＝ × × × ＝ ，
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
P=1- ＝1- ＝ .
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为 .
（19）本小题主要考查等差数列、等比数列及不等式的基本知识，考查利用分类讨论思想分析问题和解决问题的能力.满分12分.
（Ⅰ）由题设2a3=a1+ a2,即2a1q2=a1+ q,
∵a1≠0,∴2q2-q-1=0.
q=1或- .
（Ⅱ）若q=1，则Sn=2n+ •1= .
当n≥2时，Sn-bn=Sn-1= ＞0,
故Sn＞bn..
若q=-- ,则Sn=2n+ (- )= .
当≥2时，Sn-bn=Sn-1=- ,
故对于n∈N,当2≤n≤9时，Sn＞bn;当n=10时，Sn＝bn;当n≥11时，Sn＜bn.
(20)本小题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2,
f＇(x)=3x2+2bx+c.
由在M(-1,　f(-1))处在切线方程6x-y+7=0,知
-6-f(-1)+7=0,　即f(-1)=1,　f＇(-1)=6.
∴ 即
解得b=c=-3
故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.
（Ⅱ）f＇(x)=3x2-6x-3,
令3x2-6x-3＝0,即x2-2x-1＝0.
解得 x1=1- , x2=1+ .
当x＜1- ,或x＞1+ 时, f＇(x) ＞0;
当1- ＜x＜1+ 时，f＇(x) ＜0.
故f(x)＝x3-3x2-3x+2在（-∞，1- ）内是增函数，在（1- ，1+ ）内是减函数，在（1+ ，+∞）内是增函数.
（21）本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力，满分12分.
解法一：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE.
∵二面角D-AB-E为直二面角，且CB⊥AB,
∴CB⊥平面ABE.
∴CB⊥AE.
∴AE⊥平面BCE.
（Ⅱ）连结BD交AC于G，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，
∴BG⊥AC,BG= .
∵BF⊥平面ACE，
由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.
由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，
∴AE⊥EB，
又∵AE=EB,
∴在等腰直角三角形AEB中，BE= .
又∵直角△BCE中，EC= = ,
BF＝
∴直角△BFC中，sin∠BGF=
∴二面角B-AC-E等于arcsin .
(Ⅲ)过点E作BD⊥AB交AB于点O，OE＝1.
∵二面角D-AB-E为直二面角，
∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面△ACE的距离为h,
∵VD-ACD＝VE-ACD,
∴ S△ACE•h= S△ACE•EO.
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC.
∴h=
∴点D到平面ACE的距离为 .
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图。
∵AE⊥面BCE，BE 面BCE，
∴AE⊥BE,
在Rt AEB中，AB＝2，O为AB的中点，
∴OE＝1.
∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2）.
＝（1，1，0）， ＝（0，2，）.
设平面AEC的一个法向量为
＝（x,y,z）,
则 即
解得
令x=1,得 =(1,-1,1)是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为
∴cos( )=
二面角B-AC-E的大小为aros .
(Ⅲ)∵AD∥z轴，AD=2,
∴
∴点D到平面ACE的距离d=| |•|cos( , )|=
(22)本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.
（Ⅰ）解法一：直线l:y= x-2 , ①
过原点垂直l的直线方程为y=- ②
解①③得x=
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
∴
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
∵c=2,a2=6,b2=2.
故椭圆C的方程为 ③
解法二：直线l:y= x-2 .
设原点关于直线l的对称点为（p,q）,则 解得p=3.
∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
∴
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
∴c=2,a2=6,b2=2.
故椭圆C的方程为 ③
（Ⅱ）解法一：设M(x1, y1),N(x2, y2).
当直线m不垂直x轴时，直线m:y=k(x+2)代入③,整理得
（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0,
∴x1+x2=-
|MN|=
点O到直线MN的距离d=
∵ ,即

＝ `
∴
∴ .∴|MN|•d= ,
即4
整理得 k2=
当直线m垂直x轴时，也满足S△OMN= .
故直线m的方程为 ，或x=-2.
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为 ，或x=-2.
解法二：设M(x1, y1),N(x2, y2).
当直线m不垂直x轴时，直线m:y=k(x+2)代入③,整理得
（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0,
∴x1+x2=-
∵E(-2,0)是椭圆C的左焦点，
∴|MN|＝|ME|+|NE|
＝ )
以下与解法一相同.
解法三：设M(x1, y1),N(x2, y2).
设直线m:x=ty-2,代入③，整理得
（t2+3）y2-4ty-2=0.
∵

∵ ,即
＝ `
∴
∴ .

∴ 整理得t2=3t2.
解得 或t=0.
故直线m的方程为 ，或x=-2.
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为 +，或x=-2.