2013高考数学直线、圆与圆的位置关系复习课件和试题
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2013年高考数学总复习 8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系但因为测试 新人教B版
1.(2011•深圳二模)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
[答案] A
[解析] 解法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1<5 ，故选A.
解法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A.
2．(文)(2011•济南二模)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．
(理)(2011•东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．6条
[答案] C
[解析] 由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时 ，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．
3．(2011•东北三校联考)若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax＋by＋c＝0所得的弦长等于( )
A．1 B．2
C.3 D．23
[答案] B
[解析] ∵a、b、c是直角三角形的三条边，
∴a2＋b2＝c2.
设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝|c|a2＋b2＝1，∴直线被圆所截得的弦长为
222－12＝2.
4．(2011•潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0
[答案] D
[解析] 解法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P(32，－32)在直线l上，排除A、B、C，选D.
解法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，
即x－y－3＝0，故选D.
[点评] 直线l为两圆心连线段的中垂线．
5．(2011•唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )
A.5 B.6
C．25 D．26
[答案] C
[解析] x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，因此，公共弦长为250－352＝25，选C.
6．(文)(2011•山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，则线段MN的长为( )
A．22 B．3
C．23 D．6
[答案] C
[解析] l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝2，则弦长|MN|＝2r2－d2＝23.
(理)(2011•豫南四校调研考试)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝ 0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
[答案] D
[解析] ∵圆的半径为5，|AB|＝8，∴圆心(－1,2)到直线l的距离为3.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点(－4,0)，所以直线l的方程为x＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l的距离为3，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则圆心(－1,2)到直线l的距离为|－k－2＋4k|k2＋1＝3，解之得k＝－512，∴直线l的方程为－512x－y－2012＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.综上可得，满足题意的直线l方程为5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故选D.
7．(2011•济南三模)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
[答案] 3
[解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝22x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d＝|322|62＝3，所以圆的半径为3.
8．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且OA→•OB→＝2，则实数a的值等于________．
[答案] ±6
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．
设OA→、OB→的夹角为θ，则OA→•OB→＝R2•cosθ＝4cosθ＝ 2，
∴cosθ＝12，∴θ＝π3，则弦AB的长|AB→|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：
|0＋0－a|2＝3，解之得a＝±6.
9．(文)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
[答案] (x－2)2＋(y－2)2＝2
[解析] ∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝32，
∵A到l的距 离52，∴所求圆B的直径2r2＝22，
即r2＝2.
设B(m，n)，则由BA⊥l得n－6m－6＝1，
又∵B到l距离为2，∴|m＋n－2|2＝2，
解出m＝2，n＝2.
(理)(2011•杭州二检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
[答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析] 设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即x－12＋y＋12＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
10．(2011•新课标全国文，河南质量调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
[解析] (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交 点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为r＝32＋t－12 ＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
x－y＋a＝0，x－32＋y－12＝9.
消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.
因此，x1,2＝8－2a±56－16a－4a24，从而
x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12. ①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以
2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0. ②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
11.(文)(2011•济南模拟)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为( )
A．－1或3 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
[答案] D
[解析] 圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝|a－2|2，则(2)2＋(|a－2|2)2＝22，
∴a＝0或4.
(理)(2011•宝鸡五月质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|(其中O为坐标原点)，则实数a等于( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D.6或－6
[答案] C
[解析] ∵|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，
∴|OA→|2＋|OB→|2＋2OA→•OB→
＝|OA→|2＋|OB→|2－2OA→•OB→，
∴OA→•OB→＝0，∴OA→⊥OB→，
画图易知A、B为圆x2＋y2＝4与两坐标轴的交点，
又A、B是直线x＋y＝a与圆的交点，∴a＝2或－2.
12．(文)(2011•银川部分中学联考)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为( )
A．y＝－3x B．y＝3x
C．y＝－33x D．y＝33x
[答案] C
[解析]
如上图由题易知，圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如上图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－33，故直线l的方程为y＝－33x，选C.
(理)(2010•宁夏联考)若关于x，y的方程组ax＋by＝1x2＋y2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为( )
A．24 B．28
C．32 D ．36
[答案] C
[解析] x2＋y2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.
13．(文)(2011•天津模拟)过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．23
C．3 D．25
[答案] B
[解析] 当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|取最小值23.
(理) (2011•江西理，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2 ：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A. (－ 33，33)B. (－ 33，0)∪(0, 33)
C. [－ 33 ，33]D．( －∞， －33 )∪( 33，＋∞)
[答案] B
[解析] 曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C2：y(y－mx－m)＝0表示直线y＝0与y－mx－m＝0，若有四个不同的交点，则直线y－mx－m＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由|2m|1＋m2<1得，－33
[答案] 2x－y＝0
[解析] 由x2＋y2－2x－4y＋4＝0
得(x－1)2＋(y－2)2＝1，
知圆心(1,2)，半径r＝1.
由弦长为2知，直线过圆心且过原点，
∴2x－y＝0为所求．
15．(文)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切 线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．
[解析] (1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M在圆外，
当过点M的直线斜率不存在 时，易知直线x＝3与圆相切．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋1＝0，
∵直线与圆相切，∴|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，
解之得k＝34，
∴切线方程为y－1＝34(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知|a－2＋4|1＋a2＝2，
∴a＝0或a＝43.
(3)圆心到直线的距离d＝|a＋2|1＋a2，
又l＝23，r＝2，
∴由r2＝d2＋(l2)2，可得a＝－34.
(理)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] 依题意，设l的方程为y＝x＋b ①
x2＋y2－2x＋4y－4＝0 ②
联立①②消去y得：
2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝－b＋1，x1x2＝b2＋4b－42， ③
∵以AB为直径的圆过原点，
∴OA→⊥OB→，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－ 4，
∴满足条件的直线l存在，其方程为
x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
1．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)，那 么两圆的位置关系是( )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
[答案] C
[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝5<3，所以两圆相交．
2．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案] C
[解析] 圆心到直线的距离d＝|cosθ－1－cosθ|sin2θ＋cos2θ＝1<2，
∴直线与圆相交．
3．(2011•海淀期末)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋2＝0上的动点，若经过 点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为( )
A. π2 B．π
C．3π D．4π
[答案] B
[解析] 由于圆经过点F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与到直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋2＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.
4．(2011•临沂模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.3 B．2
C.6 D．23
[答案] D
5．(2011•温州模拟)过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线的方程为( )
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
[答案] B
6．(2011•济南一模)由直线y＝x＋2上的点向圆(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A.30 B.31
C．42 D.33
[答案] B
[解析] 设点M是直线y＝x＋2上一点，圆心为C(4，－2)，则由点M向圆引的切线长等于CM2－1，因此当CM取得最小值时，切线长也取得最 小值，此时CM等于圆心C(4，－2)到直线y＝x＋2的距离，即等于|4＋2＋2|2＝42，因此所求的切线长的最小值是422－1＝31，选B.
7．(2011•北京日坛中学摸底考试)若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是( )
A．0
8．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点轨迹方程．
[答案] (1)x＝0或3x－4y＋20＝0 (2)x2＋y2＋2x－11y＋30＝0
解析：设l：y＝kx＋5，由l被⊙C截得弦长为43及⊙C半径r＝4知d＝2，∴|－2k－6＋5|1＋k2＝2，
∴k＝34，当k不存在时，切线l为x＝0，
∴l的方程为y＝34x＋5或x＝0.
(2)设弦的中点为M(x，y)，
将y＝kx＋5代入⊙C方程中得，
(1＋k2)x2＋2(2－k)x－11＝0，
设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k－41＋k2，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋10
＝2k2－4k1＋k2＋10＝12k2－4k＋101＋k2，
∵M为AB的中点，
∴x＝x1＋x22＝k－21＋k2，y＝y1＋y22＝6k2－2k＋51＋k2消去k得，x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
[点评] 也可以直接由x＝k－21＋k2及y－5x＝k消去k得出轨迹方程更简便些．