2013高考数学命题、量词、逻辑联结词但因为复习测试
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2013年高考数学总复习 1-2 命题、量词、逻辑联结词但因为测试 新人教B版
1.(2011•南昌模拟)下列命题是真命题的为( )
A．若1x＝1y，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则logax＝logay
D．若x
[解析] 当x2＝1时，x＝1或x＝－1，故B假；当x＝y＝－1时，logax无意义，故C假；当x＝－2，y＝1时，满足x
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1
D．∃x∈R，tanx＝2
[答案] B
[解析] 由指数函数值域知2x－1>0恒成立；当x＝1时，lgx＝0<1；∵直线y＝2与y＝tanx有交点，∴方程tanx＝2有解；∴A、C、D都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)2>0不成立，∴B为假命题．
(理)(2011•山东实验中学模拟)下列命题中是真命题的为( )
A．∀x∈R，x2
C．∃x∈R，∀y∈R，xy2＝y2
D．∀x∈R，∃y∈R，x>y2
[答案] C
[解析] 令f(x)＝x2－x－1，∵Δ>0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有x
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
[答案] C
[解析] 依题意得，命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，选C.
4．(2011•辽宁铁岭六校联合考试)与命题“若p，则q”的否命题真假相同的命题是( )
A．若q，则p B．若?p，则q
C．若?q，则p D．若?p，则?q
[答案] A
[解析] 原命题的否命题与原命题的逆命题是等价命题，真假相同，故选A.
5．(文)(2011•厦门模拟)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(?p)∨q B．p∧q
C．(?p)∧(?q) D．(?p)∨(?q)
[答案] D
[解析] 由题知命题p为真命题，命题q为假命题，∴?p为假命题，?q为真命题，再由“或”命题一真为真，“且”命题一假为假知A、B、C都为假命题．
(理)(2011•广东省东莞市一模)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x<3x；命题q：∀x∈(0，π2)，cosx<1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(?q)
C．(?p)∧q D．p∧(?q)
[答案] C
[解析] 在x∈(－∞，0)上，y＝2x的图象恒在y＝3x的上方，所以不存在这样的x使得2x<3x成立，命题p为假命题，命题q为真命题，所以(?p)∧q为真命题，故选C.
6．(文 )(2011•湖南十二校第二次联考)下列命题中的真命题是( )
A．∃x∈R，使得sinxcosx＝35
B．∃x∈(－∞，0)，2x>1
C．∀ x∈R，x2≥x－1
D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
[答案] C
[解析] 由sinxcosx＝35，得sin2x＝65>1，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B，D错误；因为x2－x＋1＝(x－12)2＋34>0恒成立，所以C正确．
(理)(2011•山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( )
A．若向量a，b满足a•b＝0，则a＝0或b＝0
B．若a
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝43成立
[答案] D
[解析] 对于A，当a⊥b时，a•b＝0也成立，此时不一定是a＝0或b＝0；
对于B，当a＝0，b＝1时，该命题就不成立；
对于C，b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件；
对于D，因为sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．
7．(文)(2011•济南模拟)命题p：∃x∈R，lgx＝0，q：∀x∈R,2x>0，命题(?p)∧q的真假为________(填“真”或“假”)．
[答案] 假
[解析] ∵x＝1时，lgx＝0，∴p真；
由指数函数值域知2x>0恒成立，∴q真；
∴(?p)∧q为假．
(理)(2010•江南十校联考)若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
[答案] －22≤a≤22
[解析] 因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.
8．已知命题p：1x2－x－2>0，则?p对应的x的集合为________．
[答案] {x|－1≤x≤2}
[解析] 由p：1x2－x－2>0得p：x>2或x<－1，
所以?p对应的x值的取值范围是{x|－1≤x≤2}．
[点评] 本题易形成错解：
∵p的否定?p为1x2－x－2≤0，
即x2－x－2<0，解得1
9．(2010•安徽文)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案] 对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
10．(2010•马鞍山市质检)给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
②“若am2
④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)且x>0时，f ′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f ′(x)>g′(x)．
其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)．
[答案] ①④
[解析] ①显然正确．②中命题“若am2
∴x<0时，g′(x)<0，∴x<0时，f ′(x)>g′(x)，故④正确.
11.(2011•北京模拟)下列命题中，真命题是( )
A．∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12
B．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
C．∃x∈R，x2＋x＝－1
D．∀x∈(0，＋∞)，ex>1＋x
[答案] D
[解析] ∵对任意x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1，∴A假；当x＝π4时，sinx＝cosx，∴B假；对于函数y＝x2＋x＋1，∵Δ＝－3<0，∴y>0恒成立，∴C假；对于函数y＝ex－x－1，∵y′＝ex－1，当x>0时，y′>0，∴y＝ex－x－1在(0，＋∞)上为增函数，∴y>e0－0－1＝0，即ex>1＋x恒成立，∴D真．
12．(文)(2011•大连质检)下列命题中真命题的个数是( )
①∀x∈R，x4>x2；
②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2＋1>0”．
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 当x＝0时，x4>x2不成立，∴①假；②③显然为真，故选B.
(理)(2011•汕头模拟)下列说法中，正确的是( )
A．命题“若am2
C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“ x>1”是“x>2”的充分不必要条件
[答案] B
[解析] 命题“若am2
13．(2011•宿州模拟)已知命题p：∃x∈[0，π2]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范 围是( )
A．[－98，－1] B．[－98，2]
C．[－1,2] D．[－98，＋∞)
[答案] C
[解析] 依题意：cos2x＋cosx－m＝0在x∈[0，π2]上有解，即cos2x＋cosx＝m在x∈[0，π2]上有解．
令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx －1＝2(cosx＋14)2－98，由于x∈[0，π2]，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．
14．(文)(2011•长沙调研)下列结论：
①若命题p：∃x∈R，ta nx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(?q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
[答案] ①③
[解析] ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧(?q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
(理)(2011•金华模拟)给出下列三个结论：
①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
②函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有3个零点；
③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f ′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f ′(x)>g′(x)．
其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号)
[答案] ①③
[解析] ①显然正确；由y＝x与y＝sinx的图象可知，函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在关于原点对称区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上单调性相反，∴x<0时，f ′(x)>0，g′(x)<0，
∴f ′(x)>g′(x)，③正确．
15．(文)已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解析] (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．
用反证法证明：
设a＋b<0，则a<－b，b<－a，
∵f(x)是R上的增函数，
∴f(a)
由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
又∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，∴原命题真，故逆否命题为真．
(理)(2010•聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么OA→•OB→＝3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解析] (1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，6)、 B(3，－6)．
∴OA→•OB→＝3.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.
由y2＝2xy＝kx－3得，ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.
又∵x1＝12y21，x2＝12y22，
∴OA→•OB→＝x1x2＋y1y2
＝14(y1y2)2＋y1y2＝3.
综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OA→•OB→＝3”是真命题．
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果OA→•OB→＝3，那么直线过点T(3,0)．
该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B12，1，此时OA→•OB→＝3，
直线AB的方程为y＝23(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．
16．(文)已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log13 (x2－2 ax＋3a)是区 间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析] ∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立
∴a>2－x2x＝2x－x在x∈[1,2]上恒成立
令g(x)＝2x－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝1，
∴a>1.即若命题p真，则a>1.
又∵函数f(x)＝log13 (x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，
∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a≤1，u(1)>0，∴－1
(理)探求关于x的方程x2＋2mx＋12－m＝0两根都大于2的充要条件．
[解析] 设两根为x1，x2，则x1>2x2>2，而
x1>2x2>2，⇔Δ≥0x1－2x2－2>0x1－2＋x2－2>0
⇔4m2－412－m≥012－m－2×－2m＋4>0－2m－4>0
⇔m≥3或m≤－4m>－163m<－2⇔－163
1．(2011•福州月考)下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为真命题
[答案] D
[解析] A中，否命题应为若x2≠1，则x≠1；B中，x＝－1⇒x2－5x－6＝0，反之则不成立，应为充分条件；C中，命题的否定应为∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
2．(2011•浙江省台州市调研)给出下列命题，其中错误的是( )
A．命 题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件
C．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题
D．命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则?p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0
[答案] C
[解析] 选项A根据逆否命题的写法，是正确的；选项B“x2－3x－4＝0”不能推出“x＝4”，但是“x＝4”能推出“x2－3x－4＝0”所以B正确；选项C中若p∧q是假命题，只需要其中一个是假命题即可，故选项C错误．根据特称命题与全称命题的否定，选项D正确．
3．(2010•北京延庆县模考)下列命题中的假命题是( )
A．∀x>0且x≠1，都有x＋1x>2
B．∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)
C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)•xm2－4m＋3是幂函数
D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
[答案] D
[解析] ∵x＋1x≥2等号在x＝1时成立，∴A真；将x＝1，y＝0代入直线方程ax＋y＝a中成立，∴B真；令m－1＝1得m＝2，此时f(x)＝x－1是幂函数，故C真；当φ＝π2时，f(x)＝sin2x＋π2＝cos2x为偶函数，故D假．
4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.”若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≤－2或1≤a≤2}
C．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1}
[答案] A
[解析] “p∧q”为真，即p、q同为真．对于命题p，∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0成立，即a≤1；对于命题q，∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1，∴选A.
5．(2010•合肥市)下列命题：
①∀x∈R，不等式 x2＋2x>4x－3成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③命题“若a>b>0且c<0，则ca>cb”的逆否命题；
④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－2x－1≤0，则命题p∧(?q)是真命题．其中真命题有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] A
[解析] ∵x2＋2x－4x＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋1>0恒成立，故①真；由log2x＋logx2≥2知，x>0 且x≠1，若0
∵a>b>0，∴0<1a<1b，又c<0，∴ca>cb，∴命题“若a>b>0且c<0，则ca>cb”为真命题，因此其逆否命题为真，故选A.
6．(2011•南昌模拟)给出以下三个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A．① B．② C．③ D．②③
[答案] B
[解析] 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．
7．(2011•常德模拟)已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．
[答案] 2
[解析] 由|a|≤1，得－1≤a≤1，
且Δ＝(a＋2)2＋4(a2－4)
＝5(a＋25)2－45－12
≤5(1＋25)2－645<0，
∴原命题为真，逆否命题亦为真．
反之，如a＝－2时，所给不等式的解集即为空集，
但a∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．
8．(2010•河北正定中学模拟)已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2 ＝64相内切．
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线x24－y212＝1交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量DF→＋BE→＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
[解析] (1)圆M：(x－2)2＋y2＝64的圆心M的坐标为(2,0)，半径R＝8.
∵|AM|＝4
即|CM|＋|CA|＝8>|AM|.
∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A、M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝12.
∴所求动圆的圆心C的轨迹方程为x216＋y212＝1.
(2)由y＝kx＋mx216＋y212＝1，消去y化简整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km3＋4k2
Δ1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0①
由y＝kx＋mx24－y212＝1消去y化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0.
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3＋x4＝2km3－k2，
Δ2＝(－2km)2＋4(3－k2)(m2＋12)>0②
∵DF→＝(x4－x2，y4－y2)、BE→＝(x3－x1，y3－y1)，
且DF→＋BE→＝0，
∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，
即x1＋x2＝x3＋x4，∴－8km3＋4k2＝2km3－k2，
∴km＝0或－43＋4k2＝13－k2.解得k＝0或m＝0.
当k＝0时，由①、②得－23
当m＝0时，由①、②得－3