不等式的证明复习测试（含解析2015高考数学一轮）

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不等式的证明复习测试（含解析2015高考数学一轮）

1．(2013•浙江)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝________.
解析：令x＝0，有0≤b≤1，令x＝1，有a＋b＝0，∴b＝－a，∴x4－x3－b(x－1)＝(x－1)(x3－b)．
由(x－1)(x3－b)≥0对x≥0恒成立知b＝1，否则b∈[0,1)，当x∈(3b，1)时，有x－1＜0，x3－b＞0.从而(x－1)(x3－b)＜0，矛盾．
∴b＝1，故a＝－1，即ab＝－1.
答案：－1
2．(2013•陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
解析：(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2mnab＋mn(a2＋b2)＝mn(a＋b)2＝mn＝2.
答案：2
3．已知a＞b＞c＞d，则1a－b＋1b－c＋1c－d(a－d)的最小值为________．
解析：原式＝1a－b＋1b－c＋1c－d[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3 31a－b×1b－c×1c－d×33a－bb－cc－d＝9.
当且仅当a－b＝b－c＝c－d时等号成立．
答案：9
4．(2014•东莞模拟)若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：∵1＝x＋2y＋4z≤x2＋y2＋z2•1＋4＋16，
∴x2＋y2＋z2≥121，当且仅当x＝y2＝z4，即x＝121，y＝221，z＝421时x2＋y2＋z2的最小值为121.
答案：121
5．已知5a2＋3b2＝158，则a2＋2ab＋b2的最大值为________．
解析：∵552＋3325a2＋3b2
≥55×5a＋33×3b2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
当且仅当155b＝153a，
即a2＝964，b2＝2564时等号成立．
∴a2＋2ab＋b2≤815×(5a2＋3b2)＝815×158＝1.
∴a2＋2ab＋b2的最大值为1.
答案：1
6．已知x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则利用柯西不等式判断a2＋b2与(x＋y)2的大小关系为________．
解析：∵x2a2＋y2b2＝1，
∴a2＋b2＝(a2＋b2)x2a2＋y2b2≥a•xa＋b•yb2＝(x＋y)2.
答案：a2＋b2≥(x＋y)2
7．设0＜x＜1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是________．
解析：由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x＞a2，a＞0，b＞0得b＞a.
又c－b＝11－x－(1＋x)＝1－1－x21－x＝x21－x＞0得c＞b，知c最大．
答案：c
8．设x＞0，y＞0，若不等式1x＋1y＋λx＋y≥0恒成立，则实数λ的最小值是________．
解析：∵x＞0，y＞0，
∴原不等式可化为－λ≤1x＋1y(x＋y)＝2＋yx＋xy.
∵2＋yx＋xy≥2＋2yx•xy＝4，当且仅当x＝y时等号成立．
∴1x＋1y(x＋y)min＝4，
即－λ≤4，λ≥－4.
答案：－4
9．(2014•无锡三模)设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.
证明：因为a，b，c为 正实数，由均值不等式可得
1a3＋1b3＋1c3≥3 31a3•1b3•1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc，
当且仅当1a3＝1b3＝1c3，即a＝b＝c时，等号成立．
所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.
而3abc＋abc≥2 3abc•abc＝23，
当且仅当3abc＝abc，即abc＝3时，等号成立，
所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.
10．设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，试求：12a＋1＋12b＋1＋12c＋1的最小值．
解：∵a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，
∴12a＋1＋12b＋1＋12c＋1(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)
≥(1＋1＋1)2，
∴12a＋1＋12b＋1＋12c＋1≥95.
当且仅当2a＋1＝2b＋1＝2c＋1，
即a＝b＝c时等号成立，
∴当a＝b＝c＝13时，12a＋1＋12b＋1＋12c＋1取最小值95.