2015高考数学(文)第三章三角函数、解三角形一轮复习题有解析
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05限时规范特训
A级 基础达标
1．[2014•诸城月考]集合{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：当k＝2n时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．
答案：C
2．[2014•福州质检]下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A．sin165°>0 B．cos280°>0
C．tan170°>0 D．tan310°<0
解析：165°是第二象限角，因此sin165°>0正确；280°是第四象限角，因此cos280°>0正确；170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan310°<0正确．
答案：C
3．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案：A
4．[2014•北京东城模拟]点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A．(－12，32) B．(－32，－12)
C．(－12，－32) D．(－32，12)
解析：设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－12，y＝32，∴Q点的坐标为(－12，32)．
答案：A
5．[2014•玉溪一中月考]设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝( )
A.43 B.34
C．－34 D．－43
解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝15x<0，即x<0.又cosα＝15x＝xx2＋16，解得x＝－3，∴tanα＝4x＝－43.
答案：D
6．[2014•海口模拟]已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )
A．(π4，π2) B．(π，54π)
C．(3π4，54π) D．(π4，π2)∪(π，54π)
解析：由已知得sinα－cosα>0tanα>0，
解得α∈(π4，π2)∪(π，54π)．
答案：D
7．若α是第三象限角，则y＝|sinα2|sinα2＋|cosα2|cosα2的值为( )
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：∵α是第三象限角，∴α2是第二或第四象限角．当α2为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当α2为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0.
答案：A
8．[2014•大庆调研]已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是________．
解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4则面积S＝12rl＝12r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝lr＝21＝2.
答案：2
9．已知θ角的终边与480°角的终边关于x轴对称，点P(x，y)在θ角的终边上(不是原点)，则xyx2＋y2的值为______．
解析：由题意知角θ的终边与240°角的终边相同，
又∵P(x，y)在角θ的终边上，
所以tanθ＝tan240°＝3＝yx，
于是xyx2＋y2＝yx1＋yx2＝31＋3＝34.
答案：34
10．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.
解：∵θ的终边过点(x，－1)，
∴tanθ＝－1x，
又∵tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sinθ＝－22，cosθ＝22；
当x＝－1时，sinθ＝－22，cosθ＝－22.
11．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求AB?的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．
解：(1)∵α＝120°＝2π3，r＝6，
∴AB?的弧长为l＝2π3×6＝4π.
(2)∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，
S△ABO＝12r2•sin2π3＝12×62×32＝93，
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.
12．[2014•三门峡模拟]已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα、tanα的值．
解：∵P(x，－2)(x≠0)，
∴P到原点的距离r＝x2＋2.
又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x，
∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.
当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，
由三角函数定义，有sinα＝－66，tanα＝－55.
当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，
∴sinα＝－66，tanα＝55.
B级 知能提升
1．集合A＝{x|x＝cosnπ3，n∈Z}和B＝{x|x＝sin2m－36π，m∈Z}之间满足的关系是( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A≠B
解析：设x∈B，则x＝sin2m－36π＝sin(m3π－π2)＝－cosm3π，设m＝n＋3，则x＝－cosn＋33π＝－cos(nπ3＋π)＝cosnπ3，∴x∈A，即B⊆A，反之设y∈A可证得y∈B，即A⊆B，所以A＝B.
答案：C
2．已知角α的终边上一点的坐标为(sin2π3，cos2π3)，则角α的最小正值为( )
A.5π6 B.2π3
C.5π3 D.11π6
解析：∵(sin2π3，cos2π3)＝(32，－12)，
∴角α为第四象限角，且tanα＝－33.
∴角α的最小正值为11π6.
答案：D
3．[2014•海口模拟]圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________．
解析：设圆半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，于是圆心角的弧度数为3RR＝3.
答案：3
4．[2014•盐城模拟]扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，
解得r＝3，l＝2，或r＝1，l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝12lr＝14l•2r≤14(l＋2r2)2＝14×(82)2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，
∴r＝2，
∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.