绝对值不等式检测题（有解析2015高考数学一轮）
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绝对值不等式检测题（有解析2015高考数学一轮）
1．(2013•江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
解析：原不等式可转化为－1≤|x－2|－1≤1，故0≤|x－2|≤2，解得0≤x≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．
答案：[0,4]
2．(2013•重庆)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．
解析：由绝对值的几何意义得|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，若|x－5|＋|x＋3|＜a无解，应有a≤8.
故a的取值范围是(－∞，8]．
答案：(－∞，8]
3．(2013•陕西)设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．
解析：∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|(a－x)＋(x－b)|＝|a－b|＞2，
∴|x－a|＋|x－b|＞2对x∈R恒成立．故解集为(－∞，＋∞)．
答案：(－∞，＋∞)
4．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．
解析：分三种情况讨论：
(?)当x≤－10时，原不等式转化为
－(x＋10)＋(x－2)≥8，
此不等式无解．
(?)当－10＜x＜2时，原不等式转化为
x＋10＋(x－2)≥8，
得x≥0，又－10＜x＜2，
∴此时不等式的解集为{x|0≤x＜2}．
(?)当x≥2时，原不等式转化为
x＋10－(x－2)≥8，
得x∈R，又x≥2，∴此时不等式的解集为{x|x≥2}．
综上所述：不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为{x|x≥0，x∈R}．
答案：[0，＋∞)
5．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析：令y＝|x＋1|＋|x－2|，由题意知应|a|≥ymin，而y＝|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x＋2|＝3，∴a≥3或a≤－3.
答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)
6．(2014•西安联考)如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析：设y＝|x－3|－|x－4|，
则y＝－1，x≤3，2x－7，3＜x＜4，1，x≥4
的图象如图所示：
若|x－3|－|x－4|＜a的解集不是空集，则(|x－3|－|x－4|)min＜a.
由图象可知当a＞－1时，不等式的解集不是空集．
答案：(－1，＋∞)
7．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
8．(2014•衡阳联考)已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|•f(x)成立，则实数x的取值范围是________．
解析：因为|a＋b|＋|a－b|≥|a|•f(x)恒成立，
且|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
所以f(x)•|a|≤2|a|，
所以f(x)≤2，|x－2|≤2，解得0≤x≤4.
答案：[0,4]
9．(2013•课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
y＝－5x， x＜12，－x－2， 12≤x≤1，3x－6， x＞1.
其图象如图所示．
从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈－a2，12都成立．
故－a2≥a－2，即a≤43.
从而a的取值范围是－1，43.
10．(2014•石家庄模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋2|x－a|(a∈R)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＞3；
(2)不等式f(x)≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，原不等式可化为
①x≥2，x－2＋2x－2＞3，解得x＞73；
②1＜x＜2，2－x＋2x－2＞3，解得x∈∅；
③x≤1，2－x＋2－2x＞3，解得x＜13.
∴不等式的解集为
－∞，13∪73，＋∞.
(2)当a＞2时，f(x)＝
－3x＋2＋2a，x≤2，－x＋2a－2，2＜x＜a，3x－2－2a，x≥a；
当a＝2时，f(x)＝－3x＋6，x≤2，3x－6，x＞2；
当a＜2时，f(x)＝－3x＋2＋2a，x≤a，x－2a＋2，a＜x＜2，3x－2－2a，x≥2.
∴f(x)的最小值为f(2)或f(a)，
则fa≥1，f2≥1，解得a≤1或a≥3.