2012黄冈中学高三数学五月模拟试卷及答案（理科

详细内容

湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试
数学（理工类）
本试卷共4页，共22题，其中15,16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的区域内。答在试卷纸、草稿纸上无效.

一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， 则使M∩N＝N成立的 的值是
A．1　　　B．0 C．－1 D．1或－1
2．若 ，其中 ， 是虚数单位，复数
A． B． C． D．

3.阅读右面的程序框图，则输出的 =
A．14 B．20
C．30 D．55

4.“ 成等差数列”是“ ”成立的
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分也非必要条件.

5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是

A． B．
C． D．
6．已知二项式 展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为
A． B． C． D．
7．已知两点 为坐标原点，点 在第二象限，且 ，设 等于
A． B．２C．1D．
8．过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 两点,它们到直线 的距
离之和等于5,则这样的直线
A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在

9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为
A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4 B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4 D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.4

10.如图，平面四边形 中， ， ，将其沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，若四面体 顶点在同一个球面上，则该球的体积为
A. B.
C. D.

二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
(一)必考题（11―14题）
11．函数 在点 处的切线与函数 围成的图形的面积等于
.
12．平面直角坐标系中，圆 方程为 ，直线 与圆 交于 两点，又
知角 、 的始边是 轴，终边分别为 和 ，则 .

13．已知点P的坐标 ，过点P的直线l与圆 相交于
A、B两点，则 的最小值为 ．
14. 若实数 满足 ，则 的最大值是 .
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）
15.如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD= .

16．已知直线 与圆 相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为　　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)已知向量 ．记
( I ) 若 ，求 的值；
(Ⅱ) 在 ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足
，若 ，试判断 ABC的形状．

18.(本小题满分12分) 已知等差数列数列 的前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数，公比是 ，且满足： .
（Ⅰ）求 与 ；
（Ⅱ）设 ，若 满足： 对任意的 恒成立，
求 的取值范围.

19． （本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为 的中点. .
（I）点 在线段 上， ，试确定 的值，使 平面 ；
（II）在（I）的条件下，若平面 平面ABCD，求二面角 的大小.

20.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
(?) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
(?) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.

21. (本小题满分13分)如图，F1、F2分别为椭圆 的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若 ，且 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、
M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

22. (本小题满分14分)已知函数
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有 （ 为自然对数的底数）；
（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数 的图象相切？ 若存在，有多少条？若不存在，说明理由．
湖北省黄冈中学2012届高高考模拟考试
数学（理工类）答案
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， 则使M∩N＝N成立的 的值是 （　　）
A．1　　　B．0 C．－1 D．1或－1
解析：C
2．若 ，其中 ， 是虚数单位，复数 （ ）
A． B． C． D．
解析：B

3.阅读右面的程序框图，则输出的 = （ ）
A．14 B．20 C．30 D．55

解析：C

4.“ 成等差数列”是“ ”成立的
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分也非必要条件.
解析：A
5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 （ ）

A． B．
C． D．
解析：D
6．已知二项式 （ ）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为 （ ）
A． B． C． D．
解析：A
7．已知两点 为坐标原点，点 在第二象限，且 ，设 等于 （ ）
A． B．２C．1D．
解析：C
8．过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 两点,它们到直线 的距
离之和等于5,则这样的直线（　　）
A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在
解析：D

9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为(　　)
A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4 B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4 D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.4
【解析】 A　第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n＝1时，C、D相对应的函数值均不为12，故可排除C、D；A、B相对应的函数值都为12，再考虑第2年付给工人的工资总额及A、B相对应的函数值，又可排除B.

10.如图，平面四边形 中， ， ，将其沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，若四面体 顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ( )
A. B.
C. D.
解析：A

二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．函数 在点 处的切线与函数 围成的图形的面积等于

解析：
12．平面直角坐标系中，圆 方程为 ，直线 与圆 交于 两点，又知角 、 的始边是 轴，终边分别为 和 ，则 。
解析：

13．已知点P的坐标 ，过点P的直线l与圆 相交于A、B两点，则AB的最小值为 ．
解析：４
14. 若实数 满足 ，则 的最大值是 .
解析： 新课 标第 一网
15. 如图，A，B是圆O上的两点，且 ，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=_________

解析：

16．已知直线 与圆 相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为　　　 . 解析：

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)
已知向量 ．记
(I)若 ，求 的值；
(Ⅱ)在 ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足
(2a―c) B=b ， 若 ，试判断 ABC的形状．
17.解：
…… 2分

（I） 由已知 得 ，于是 ，
∴ ……6分
（Ⅱ 根据正弦定理知：

∵ ∴ 或 或
而 ，所以 ，因此 ABC为等边三角形.……………12分
18．(本小题满分12分)
已知等差数列数列 的前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数，公比是 ，且满足： .
（Ⅰ）求 与 ；
（Ⅱ）设 ，若 满足： 对任意的 恒成立，
求 的取值范围.
18．（Ⅰ）由已知可得 ，消去 得： ，解得 或
（舍）， 从而
（Ⅱ）由（1）知： .
∵ 对任意的 恒成立, 即： 恒成立，整理得：
对任意的 恒成立，即： 对任意的 恒成立.
∵ 在区间 上单调递增， .
的取值范围为 .

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为 的中点。
（I）点 在线段 上， ，试确定 的值，使 平面 ；
（II）在（I）的条件下，若平面 平面ABCD，求二面角 的大小。

１9．解： （1）当 时， 平面
下面证明：若 平面 ，连 交 于
由 可得， ，
．．．．．．．．．２分
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
即： ．．．．．．６分
（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，
四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB， ∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A（1，0，0），B（ ），Q（0，0，0），P（0，0， ）
设平面MQB的法向量为 ，可得 ，
取z=1，解得 ………10分
取平面ABCD的法向量 设所求二面角为 ，
则 故二面角 的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分
20. 某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
(1)分别求第3，4，5组的频率；
(2) 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
(?) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
(?) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有 名学生被考官D面试，求 的分布列和数学期望.
解：(1) 第三组的频率为0.06 5=0.3；
第四组的频率为0.04 5=0.2；第五组的频率为0.02 5=0.1.…………3分
(2) (?) 设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 ……6分
X012
P
……12分

(本小题满分13分)
21.如图，F1、F2分别为椭圆 的焦点，椭圆的右准线l与x
轴交于A点，若F1(-1，0)，且 ，
(I)求椭圆的方程；
(II)过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

解：(I) 由F1(-1，0)得 ,∴A点坐标为 ；……2分
∵ ∴ 是 的中点 ∴
∴ 椭圆方程为 ……5分
(II)当直线MN与PQ之一与 轴垂直时，四边形PMQN面积 ；
…………6分
当直线PQ，MN均与 轴不垂直时，不妨设PQ： ，
联立 代入消去 得
设 则 ………8分
∴ ，同理
∴四边形PMQN面积 ………10分
令 ，则 ，易知S是以 为变量的增函数
所以当 时， ，∴
综上可知， ，∴四边形PMQN面积的取值范围为 ………13分
22. (本小题满分14分)已知函数
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有 （ 为自然对数的底数）；
（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数y＝f（x）的图象相切? 若存在，有多少条?若不存在，说明理由．
22、（Ⅰ）解：由题意 ． ………………1分
当 时，函数 的定义域为 ，
此时函数在 上是减函数，在 上是增函数，
，无最大值．………………3分
当 时，函数 的定义域为 ，
此时函数在 上是减函数，在 上是增函数，
，无最大值．………………5分
(Ⅱ)取 ，由⑴知 ，
故 ，
取 ，则 ．………………9分
(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点 ，
∴切线方程： ，将点 坐标代入得：
，即 ， ①
设 ，则 ．………………12分
，
在区间 ， 上是增函数，在区间 上是减函数，
故 ．
又 ，
注意到 在其定义域上的单调性，知 仅在 内有且仅有一根
方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…………14分