等差数列及其前n项和复习练习（带解析2015高考数学一轮）

详细内容

等差数列及其前n项和复习练习（带解析2015高考数学一轮）
A组　基础演练
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于
(　　)
A．4　　　　　　　　　B．5
C．6 D．7
解析：2a5＝a2＋a8，a5＝6.
答案：C
2．数列{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于
(　　)
A．40 B．200
C．400 D．20
解析：S20－2S10＝20a1＋a202－2×10a1＋a102
＝10(a20－a10)＝100d，又a10＝a2＋8d，
∴33＝1＋8d，∴d＝4，∴S20－2S20＝400.
答案：C
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有
(　　)
A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
解析：由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101＝a1＋a1012×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.
答案：C
4．(2013•全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝
(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3
公差d＝am＋1－am＝1.
由Sm＝0得am＝－a1＝2，∴a1＝－2
于是an＝n－3，Sn＝n2－5n2，由Sm＝0得m＝5.
答案：C
5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则由已知，得a1＋2d＝7，a1＋4d＝a1＋d＋6，解得a1＝3，d＝2.
所以a6＝a1＋5d＝13.
答案：13
6．已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且x≠y，则a2－a1b2－b1的值为________．
答案：34
7．(2013•广东)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
解析：设等差数列的公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
答案：20
8．已知等差数列{an}的公差是正数，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求它的通项公式．
解：设等差数列{an}的公差为d.
因为a3＋a7＝a4＋a6＝－4，a3a7＝－12，
所以a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．
因为d＞0，所以a3＜a7.解方程，得a3＝－6，a7＝2.
由a7＝a3＋4d，得d＝2.
所以an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.
9．(2014•广东中山二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，S2 009＝0.
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使an≥Sn.
解：(1)设公差为d，则由S2 009＝0⇒2 009a1＋2 009×2 0082d＝0⇒a1＋1 004d＝0，d＝－11 004a1，a1＋an＝2 009－n1 004a1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n2•2 009－n1 004a1
＝a12 008(2 009n－n2)．
∵a1＜0，n∈N*，
∴当n＝1 004或1 005时，Sn取最小值1 0052a1.
(2)an＝1 005－n1 004a1，
Sn≤an⇔a12 008(2 009n－n2)≤1 005－n1 004a1.
∵a1＜0，
∴n2－2 011n＋2 010≤0，
即(n－1)(n－2 010)≤0，
解得1≤n≤2 010.
故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 010，n∈N*}．
B组　能力突破
1．(2014•潍坊模拟)已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是
(　　)
A．4 B．14
C．－4 D．－14
解析：因为a3＋a9＝4a5，所以根据等差数列的性质可得：a6＝2a5，所以a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d＝0，又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以公差d＝4.故选A.
答案：A
2．(2014•盐城模拟)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2 008，S2 0072 007－S2 0052 005＝2，则S2 008的值为________．
解析：S2 0072 007－S2 0052 005＝2 007•a1 0042 007－2 005•a1 0032 005＝a1 004－a1 003＝2，
∴d＝2，
a2 008＝a1＋2 007d＝2 006.
S2 008＝2 008a1＋a2 0082＝2 008－2 008＋20062
＝－2 008.
答案：－2 008
3．(2013•全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
解析：由已知得2a1＋9d＝03a1＋21d＝5解得d＝23，a1＝－3.
∴Sn＝n2－10n3，nSn＝13(n3－10n2)．
设f(x)＝13x3－103x2，则f′(x)＝x2－203x.
令f′(x)＝0得x＝0或x＝203，
∴f(x)在0，203上是减函数，在203，＋∞上为增函数．
∴nSn的最小值为n＝6或n＝7时取到．
∵6S6＝－48,7S7＝－49，∴nSn的最小值为－49.
答案：－49
4．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝Snn＋2(n－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；
(2)是否存在自然数n，使得S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由an＝Snn＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，
即an－an－1＝4，
故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．
于是，an＝4n－3，Sn＝a1＋ann2＝2n2－n(n∈N*)．
(2)由Sn＝nan－2n(n－1)，得Snn＝2n－1(n∈N*)，
又S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.
令2n－1＝2 013，得n＝1 007，
即存在满足条件的自然数n＝1 007.