2005-2012年福建高考数学试题集（理科8套）

详细内容

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学(理工农医类)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数：= 的共轭复数是
A. + i B. - i C.1-i D.1+i
（2）已知等差数列{an}中，a7+a9=16,a4=1,则a12的值是
A.15 B.30 C.31 D.64
（3）在△ABC中，∠C=90°， =（k,1）, =(2,3),则k的值是
A.5 B.-5 C. D.-
（4）已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α,n∥α,则m∥n；
②若m∥α,n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α,m∥β，则α⊥β.
其中真命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
（5）函数f(x)=aa+b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是
A.a＞b,b＜0
B.a＞1,b＞0
C.0＜a＜1,b＞0
D.0＜a＜1,b＜0
（6）函数y=sin(ωx+φ)（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π ）的部分图象如图，则
A. ω= ,φ= B. ω= ,φ=
C. ω= ,φ= D. ω= ,φ=
（7）已知p：|2x-3|＜1,q：x(x-3) ＜0，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（8）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是
A.aros B.
C.aros D.
（9）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
A.300种 B.240种 C.144种 D.96种
（10）已知F1、F2是双曲线 （a＞0,b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
A.4+2 B. -1 C. D. +1
（11）设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是
A.-2 B.- C.-3 D.-
（12）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A.2 B.3 C.4 D5

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
（13） ）展开式中的常数项是___________（用数字作答）.
（14）非负实数x、y满足 则x+3y的最大值为_______.
（15）若常数b满足|b|＞1，则 =___________.
（16）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于______对称，则函数g(x)=_______.
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知 .
（Ⅰ）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求 的值.
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与 ，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ε的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
（19）（本小题满分12分）
已知函数f (x)= 的图象在点M（-1，f (-1)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f (x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f (x)的单调区间.
（20）（本小题满分12分）
如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
（21）（本小题满分12分）
已知方向向量为v=(1, )的直线l过点（0，-2 ）和椭圆C： （a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 • = （O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

（22）（本小题满分14分）
已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+ ,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列.如当a=1时，得到无穷数列：1，2， ， ，…；当a= 时，得到有穷数列： ，-1，0.
（Ⅰ）求当a为何值时，a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=-1,bn+1= (n∈N*)，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若 ＜an＜2(n≥4)，求a的取值范围.

数学试题（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
(1)B (2)A (3)A (4)C (5)D (6)C
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
（13）240 （14）9 （15）
（16）如：①x轴，-3-log2x ② y轴，3+log2(-x)
③原点，-3-log2(-x) ④直线y=x，2x-3
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力，满分12分.
解法一：（Ⅰ）由sinx+cosx= ，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= ，
即 2sinxcosx= .
∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= ，
又∵ ＜x＜0，∴sinx＜0,cosx＞0，sinx-cosx＜0，
故 sinx-cosx= .
（Ⅱ）
=sinxcosx(2-cosx-sinx)
= .
解法二：（Ⅰ）联立方程 ① ②
由①得sinx= -cosx，将其代入②，整理得

＜x＜0，∴
故 sinx-cosx=
（Ⅱ）
=sinxcosx(2-cosx-sinx)
= .

（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力.满分12分.
解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
P（A）= ，P（B）= ，P（ ）= ，P（ ）= .
甲、乙两人得分之和 的可能取值为0、1、2，则 概率分布为：

012
P

E =0× +1× +2× = .
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和 的数学期望为 .
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
P=1- =1- =
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为 .
（19）本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识，分析问题和解决问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）由函数f (x)的图象在点M（-1，f (-1)）处的切线方程为x+2y+5=0，知
-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f ＇（-1）= - .
∵f ＇(x)=
∴ 即
解得a=2,b=3 (∵b+1≠0,b=-1舍去).
所以所求的函数解析式是f (x)= .
（Ⅱ）f ＇(x)= .
令-2x2+12x+6=0,解得x1=3 , x2=3 ,
当x＜3 或x＞3 时,f ＇(x)＜0；
当3 ＜x＜3 时,f ＇(x) ＞0.
所以f (x)= 在(-∞, 3 )内是减函数;在(3 ,3 )内是增函数,
在(3 ,+∞)内是减函数.
(20)本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力，满分12分.
解法一：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE,
∴BF⊥AE.
∵二面角D -AB-E为直二面角，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE.
∴CB⊥AE.
∴AE⊥平面BCE.
（Ⅱ）连结BD交AC于G，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，
∴BG⊥AC，BG= .
∵BF⊥平面ACE.
由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.
由（Ⅰ）AE⊥平面BCE.
∴AE⊥EB.
又∵AE=EB.
∴在等腰直角三角形AEB中，BE= .
又∵直角△BCE中，EC=
BF=
∴直角△BFG中sin∠BGF=
∴二面角B-AC-E等于arcsin .
（Ⅲ）过E作EO⊥AB交AB于O，OE=1.
∵ 二面角D-AB-E为直二面角，
∴ EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h，
∵VD-ACB=VE-ACD，
∴ S△ACE•h = S△ACD•EO.
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC.
∴h=
∴点D到平面ACE的距离为
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图.
∵AE⊥面BCE，BE 面BCE，
∴AE⊥BE.
在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，
∴OE=1.
∴A（0，-1，0）,E（1，0，0），C（0，1，2）.
=（1，1，0）， =（0，2，2）.
设平面AEC的一个法向量为 =（x, y, z），
则 即
解得
令x=1,得 是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为
∵cos
∴二面角B-AC-E的大小为aros .
（Ⅲ）∵AD∥z轴，AD=2，

∴
∴点D到平面ACE的距离
d=
（21）本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分12分.
（Ⅰ）解法一：直线l:y= x-2 , ①
过原点垂直l的直线方程为y= ②
解①②得x=
∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
∴
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
∴c=2,a2=6,b2=2.
故椭圆C的方程为 ③
解法二：直线l：y=
设原点关于直线l的对称点为(p,q)，则 解得p=3.
∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
∴
∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
∴c=2,a2=6,b2=2.
故椭圆C的方程为 ③
（Ⅱ）解法一：设M（x1, y1）,N (x2, y2).
当直线m不垂直x轴时，直线m: y=k (x+2)代入③，整理得
(3 k2+1) x2+12 k2x+12 k2-6=0,
x1+x2=

=
点O到直线MN的距离d=
∵ ，即

∴
∴S△OMN =
即4 ，
整理得 k2= ,∴k=± .
当直线m垂直x轴时，也满足S△OMN =
故直线m的方程为 y= x+
或y=- x- 或x=-2.
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为y= x+ 或y=- x- 或x=-2.
解法二：设M(x1, y1), N (x2, y2).
当直线m不垂直x轴时，直线m: y=k(x+2)代入③，整理得
(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0.
∴x1+x2=
∵ E(-2,0)是椭圆C的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=
=
=
以下与解法一相同.
解法三：设M (x1, y1),N (x2, y2).
设直线m: x=t y-2，代入③，整理得
(t2+3) y2-4 t y-2=0.
∴
.
∵ • =
| |•| |cos ，
∴| |•| |sin ，
∴S =
S = S + S = • =
∴ = ，整理得
解得 t=± ,或t=0.
故直线m的方程为y= y= x=
经检验上述直线均满足 • ≠0.
所以所求直线方程为y= 或y= 或x=
(22)本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，满分14分。
（Ⅰ）解法一：∵a1=a, an+1=1+ ,
∴a2=1+
a3=1+
a4=1+ ,
故当a= 时，a4=0.
解法二：∵a4=0,∴1+ ∴a3=
∵a3=1+ ,∴a2=
∴a2=1+ ,∴a=
故当a= a4=0.
(Ⅱ)解法一：∵b1= ,bn+1= ∴bn= .
a取数列{bn}中的任一个数，不妨设a=bn.
∵a=bn, ∴a2=1+ .
∴a3=1+ .
……
∴an=1+ .
∴an+1=0.
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}.
解法二：∵b1=-1,bn+1= ,∴bn= +1.
当a=b1时，a2=1+ =0.
当a=b2时，a2=1+ ∴a3=0.
当a=b1时，a2=1+ ∴a3=1+ ,∴a4=0.
……
一般地，当a=bn,时,an+1=0,可得一个含有n+1项的有穷数列a1,a2,a3,…，an+1.
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a=b1,显然a2=0,得到一个含有2项的有穷数列a1,a2.
②假设当n=k时，a=b1,得到一个含有k+1项的有穷数列a1,a2,a3,…,ak+1,其中ak+1=0.
则n=k+1时，a=bk+1,
∴a2=1+ ,
由假设可知，可得到一个含有k+1项的有穷数列a2,a3,…，ak+2,其中ak+2=0.
∴当n=k+1时，可得到一个含有k+2项的有穷数列a1,a2,a3,…， ，其中 =0.
由①②知，对一切n∈N+,命题都成立。
(Ⅲ) 要使 ∴1∴要使 ∵( ,2) (1,2),
∴只须当a4 ( ,2)时，都有an ( ,2)(n≥5).
由a4= 得 < <2,
解不等式组 得
故a>0.