2015高考数学数系的扩充与复数的引入一轮测试题
详细内容
2015高考数学数系的扩充与复数的引入一轮测试题
【选题明细表】
知识点、方法题号
复数的相关概念2、8、11
复数的代数运算1、3、7
复数的几何意义4、9、12、13
复数相等的应用5、6、10
复数的综合应用14、15
一、选择题
1.(2012年高考辽宁卷)复数 等于( A )
(A) - i(B) + i
(C)1- i(D)1+ i
解析: = = = - i.
故选A.
2.(2013安徽省黄山市高中毕业班质检)若复数 (a∈R,i为虚数 单位)是纯虚数,则实数a的值为( A )
(A)6(B)-6(C)5(D)-4
解析: = = 为纯虚数,故 =0, ≠0,
∴a=6,故选A .
3.(2013广东高三联考)复数-i+ 等于( A )
(A)-2i(B) i(C)0(D)2i
解析:-i+ =-i-i=-2i,选A.
4.(2013广州高三调研)已知i为虚数单位,则复数i(2-3i)对应的点位于( A )
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
解析:i(2-3i)=2i-3i2=3+2i,其对应的点为(3,2),位于第一象限,故选A.
5.(2013年高考广东卷)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是( D )
(A)2(B)3(C)4(D)5
解析:法一 ∵i(x+yi)=3+4i,
∴-y+xi=3+4i,
∴x=4,y=-3.
故|x+yi|=|4-3i|=5.
法二 ∵i(x+yi)=3+4i,
∴(-i)i(x+yi)=(-i)•(3+4i)=4-3i.
即x+yi=4-3i,故|x+yi|=|4-3i|=5.故选D.
6.若(x-i)i=y+2i,x、y∈R,则复数x+yi等于( B )
(A)-2+i(B)2+i
(C)1-2i(D)1+2i
解析:∵(x-i)i=xi+1.
又∵(x-i)i=y+2i.由复数相等可知 ,
所以x+yi=2+i.
故选B.
7.(2013年高考山东卷)复数z= (i为虚数单位),则|z|等于( C )
(A)25(B) (C)5(D)
解析:z= = = =-4-3i.
∴|z|= =5 .故选C.
二、填空题
8.(2013年高考重庆卷)已知复数z= (i是虚数单位),则|z|= .
解析:|z|= = =|i+2|= .
答案:
9.(2013年高考湖北卷)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .
解析:(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3),
∴z2=-2+3i.
答案:-2+3i
10.(2013年高考天津卷)已知a,b∈R,i是虚数单 位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= .
解析:由(a+i)(1+i)=bi可得(a-1)+(a+1)i=bi,
因此a-1=0,a+1=b.
解得a=1,b=2,
故a+bi=1+2i.
答案:1+2i
11.若定义 =ad-bc(a,b,c,d为复数),则 (i为虚数单位)的实部为 .
解析:由定义可得 =2i•i(3-2i)-3i •3i=3+4i. 故其实部为3.
答案:3
12.复数z= (i是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第 象限.
解析:由题意得z= = = - i,所以其共轭复数 = + i,在复平面上对应的点位于第一象限.
答案:一
三 、解答题
13.已知i是虚数单位,若实数x、y满足(1+i)(x+yi)=(1-i)(2+3i),试判断点P(x,y)所在的象限.
解:已知等式可化为(x-y)+(x+y)i=5+i,
根据两复数相等的条件得,
解得x=3,y=-2,
所以点P在第四象限.
14.设复数z=-3cos θ+2isin θ.
(1)当θ= 时,求|z|的值;
(2)若复数z所对应的点在直线x+3y=0上,
求 的值 .
解:(1)∵θ= ,
∴z=-3cos +2isin = - i,
∴|z|= = .
(2)由条件得,-3cos θ+6sin θ=0,
∵cos θ≠0,
∴tan θ= ,
原式= = = .
15.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈ R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足| -a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
解:(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
∴
解得a=b=3.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),
其对应点为Z(s,t),
由| -3-3i|=2|z|,
得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),
即(s+1)2+(t-1)2=8,
∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2 为半径的圆,如图所示,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.
∴|OO1|= ,半径r=2 ,
∴当z=1-i时,
|z|有最小值且|z|min= .