2013年高中数学毕业班一模理科试题（广州市带答案）
详细内容
试卷类型：A
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2013.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件 相互独立,那么 .
线性回归方程 中系数计算公式 ，
其中 表示样本均值.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2. 已知 ，其中 是实数，i是虚数单位，则 i
A． i B． i C． i D． i
3．已知变量 满足约束条件 则 的最大值为
A． B． C． D．
4. 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角是
A． B．
C． D．
5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A． B． C. D.
6. 函数 是
A．奇函数且在 上单调递增 B．奇函数且在 上单调递增
C．偶函数且在 上单调递增 D．偶函数且在 上单调递增
7．已知e是自然对数的底数，函数 e 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列不等式中成立的是
A． B.
C. D.
8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度 m，
一艘客船从码头 出发匀速驶往河对岸的码头 .
已知 km，水流速度为 km/h, 若客船行
驶完航程所用最短时间为 分钟，则客船在静水中
的速度大小为
A． km/h B． km/h 图2
C． km/h D． km/h
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9. 不等式 的解集是 .
10． d .
11．某工厂的某种型号的机器的使用年限 和所支出的维修费用 (万元)有下表的统计资料：
23456
2.23.85.56.57.0
根据上表可得回归方程 ，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．
12．已知 ，函数 若函数 在 上的最大值比最小值大 ，则 的值为 .
13. 已知经过同一点的 N 个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这 个平面将空间分成 个部分，则 ， .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点 ，点 在直线 上运动，当线段 最短时，点 的极坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）
如图3， 是 的直径， 是 的切线， 与 交于点 ，
若 ， ，则 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 （其中 ， ， ）的最大值为2，最小正周
期为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 ， 为坐标原点，求△ 的
面积.
17．（本小题满分12分）
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为 ， ( ＞ )，且三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
0123
(1) 求至少有一位学生做对该题的概率；
（2) 求 ， 的值；
（3) 求 的数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱 中，△ 是边长为 的等边三角形，
平面 ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）若 为 上的动点，当 与平面 所成最大角的正切值为 时，
求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值.
19．（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ，且 N .
(1) 求数列 的通项公式；
（2）若 是三个互不相等的正整数，且 成等差数列，试判断
是否成等比数列？并说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点 处的切线分别为 ，且 与 交于点 .
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 是否存在满足 的点 ? 若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标）; 若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知二次函数 ，关于 的不等式
的解集为 ，其中 为非零常数.设 .
（1）求 的值；
（2） R 如何取值时，函数 存在极值点，并求出极值点；
（3）若 ，且 ，求证： N .