2014湖南益阳高考数学第十次模拟试卷（有答案理科）
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2014湖南益阳高考数学第十次模拟试卷（有答案理科）
时间：120分钟，满分150分，
祝同学们考试顺利！
1.已知 （ 为虚数单位），复数Z的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为（ ）
A.25B.24C.18D.16
3．已知命题 ，使 为偶函数；命题 ：函数 在 上单调递减，则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
4. 设 满足约束条件 ，若目标函数 （ ， ）的最大值为12，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 运行如图1的程序图，则输出s的结果是( )
A. B. C. D.
6. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，P为矩形内一点，且AP＝32.
若 (λ，μ∈R)，则λ＋3μ的最大值为( )
A.32 B.62 C.3＋34 D.6＋324
8．设 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9. 已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.定义域为[a,b]的函数 的图像上两点 ， 是 图像上任意一点，其中 ，已知向量 ，若不等式 对任意的 恒成立，则称函数 在 上的“ 阶线性近式”，若函数 在 上“ 阶线性近似”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
二．填空题：
（一）选作题：（请在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做按前两题计分）
11.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为 ，则点A(2， )到这条直线的距离为 .
12.（不等式选将选作题）已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则 的最小值为 ．
13. （几何证明选讲）如图： 是圆O的切线，切点为 ， 交圆 于 两点，且 则 的长为 .
（二）必做题（14～16题）
14. 二项式 的展开式的第二项的系数为12，则
15. 数列 的前n项和为 ，则 .
16. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其
中 ， ， ，若A、B、C中的元素满足条件： ， ， 1,2，…， ，则称 为“完并集合”.
（1）若 为“完并集合”，则 的取值集合为 .
（2）对于“完并集合” ，在所有符合条件的集合 中，其元素乘积最小的集合是 .
三．解答题：本大题6个小题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 在 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 的面积 ， ，求 的值．
18. 在一次数学测验后，班级学习委员王明对选做题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）
几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计
男同学124622
女同学081220
合计12121842
（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）
几何类代数类总计
男同学16622
女同学81220
总计241842
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？
（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学习委员王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．
①求在这名班级学习委员被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表仅供参考：
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
参考公式： .
19. 在斜三棱ABC-A1B1C1中，侧面A1A1⊥面ABC，AA1=2a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA1中点。
（1）求证：CD⊥面ABB1A1；
（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E-A1C1-A的大小为π3.
20. 随着我国新型城镇化建设的推进，城市人口有了很大发展，生活垃圾也急剧递增。据统计资料显示，到2013年末，某城市堆积的垃圾已达到 万吨，为减少垃圾对环境污染，实现无害化、减量化和再生资源化，该市对垃圾进行资源化和回收处理。
（1）假设2003年底该市堆积的垃圾为 万吨，从2003年底到2013年底这十年中，该市每年产生的新垃圾以 的年平均增长率增长，试求2013年，该市产生的新垃圾约有多少吨？
（2）根据预测，从2014年起该市还将以每年 万吨的速度产生新的垃圾，同时政府规划每年处理上年堆积垃圾的 ，现用 表示2014年底该市堆积的垃圾数量， 表示2015年底该市堆积的垃圾数量，…， 表示经过 年后该城市年底堆积的垃圾数量。
① 求 的值和 的表达式；
②经过多少年后，该城市的垃圾数量可以控制在30万吨的范围内。
（结果精确到 ，参考数据： ）
21. 在平面直角坐标系 中，已知 分别是双曲线 的左、右焦点，双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点，且过点
(Ⅰ)求双曲线 的方程;
(Ⅱ) 设直线 与双曲线 相切于第一象限上的一点 ,连接 ,设 的斜率为 ,直线 的斜率分别为 ,试证明 为定值,并求出这个定值；
（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作 ，设 交 于点 ，证明:当点 在双曲线右支上移动时，点 在一条定直线上.
22.已知函数 的定义域为 ，对定义域内的任意x，满足 ，当 时， （a为常数），且 是函数 的一个极值点，
(I)求实数 的值；
(Ⅱ)如果当 时，不等式 恒成立，求实数 的最大值；
（Ⅲ）求证：
理科数学参考答案
1――5 CDDAB；6――10 CBDAC
11. 12.18 13. 14. 3 15. 16.① ，②
三．解答题：
17．(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.
又由正弦定理得sin Bsin C＝basin A•casin A＝bca2sin2A＝2021×34＝57.…………12分
18. 解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k 42×(16×12－8×6)224×18×20×22 25255≈4.582>3.841.…2分
所以，据此统计可在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关． ……4分
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．
①方法一：令事件A为“这名班级学习委员被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P(A∩B) ，P(A) .所以P(B|A) P(A∩B)P(A) 217×16 1136. ……7分
方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，
则P(C) 217×16 1136.
②由题知X的可能值为0，1，2.
依题意P(X 0) 3551；P(X 1) 517；P(X 2) 151.
从而X的分布列为
X012
P3551
517
151
……10分
于是E(X) 0×3551＋1×517＋2×151 1751 13. ……12分
19. 解：（1）【证】∴面A1A1⊥面ABC，AB⊥AC
∴AB⊥面A1A1，即有AB⊥CD；
又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1 ∴CD⊥面ABB1A1………6′
（2）【解】如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，则有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)
C1(-a,0,a)，设 ，且 ，即有
所以E点坐标为 由条件易得面A1C1A的一个法向量为
设平面EA1C1的一个法向量为 ，
由 可得
令y=1，则有 ………9′
则 ，得 ………11′
∴当 时，二面角E-A1C1-A的大小为 ………12′
20. 解：（1）设2004年该城市产生垃圾为 万吨，依题意得：
，…………2分
， （万吨）………4分
所以2013年该城市产生的新垃圾为 （万吨）；…………5分
（2）（?） （万吨）；…………6分
（?）
， ……7分
所以
………9分
， ，…………10分
是 的减函数，………12分
所以 时，该城市垃圾堆积量会少于30万吨，
所以4年后该城市垃圾量可以控制在30万吨内。…………13分
21. （Ⅰ）解：依题意得 ， ， ，………2分
所以双曲线方程为 ……………3分
（Ⅱ）设 ， ， ，代入双曲线方程得：
，依题意得 ， ，， ， ………6分
， （定值）………8分
（Ⅲ） ， ……①， ……②，
所以由①②得 ， , ， ，所以点 恒在定直线 上。…………13分
22. 解：（Ⅰ）对定义域内的任意x，满足 ，所以 为奇函数，
当 ，
当 时， ， ， ，
经检验， 符合题意。……………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，当 时，
令 ， ，
令 ， ，所以 在 上是增函数，
， ， 在 上是增函数， ，……6分
所以 ，所以 得最大值为2。…………7分
（Ⅲ）当 时， ， ， ，………8分
令 …………9分
，………10分
，
………
………12分
将以上n个等式相加得： …………13分