2014年高考数学不等式文科试题汇编
详细内容
数 学
E单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
5．，[2014•山东卷] 已知实数x，y满足ax
B．sin x>sin y
C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
D.1x2＋1>1y2＋1
5．A
5．[2014•四川卷] 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.ad＞bc B.ad＜bc
C.ac＞bd D.ac＜bd
5．B
E2 绝对值不等式的解法
9．、[2014•安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
9．D
10．[2014•辽宁卷] 已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝cos πx，x∈0，12，2x－1，x∈12，＋∞，则不等式
f(x－1)≤12的解集为( )
A.14，23∪43，74
B.－34，－13∪14，23
C.13，34∪43，74
D.－34，－13∪13，34
10．A
3．、[2014•全国卷] 不等式组x（x＋2）＞0，|x|＜1的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
3．C
E3 一元二次不等式的解法
3．、[2014•全国卷] 不等式组x（x＋2）＞0，|x|＜1的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
3．C
E4 简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
13．[2014•安徽卷] 不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．
13．4
13．[2014•北京卷] 若x，y满足y≤1，x－y－1≤0，x＋y－1≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．
13．1
11．，[2014•福建卷] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5 B．29
C．37 D．49
11．C
4．[2014•广东卷] 若变量x，y满足约束条件x＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则z＝2x＋y的最大值等于( )
A．7 B．8
C．10 D．11
4．D
4．[2014•湖北卷] 若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则2x＋y的最大值是( )
A．2 B．4 C．7 D．8
4．C
13．[2014•湖南卷] 若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥1，则z＝2x＋y的最大值为________．
13．7
14．[2014•辽宁卷] 已知x，y满足约束条件2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．
14．18
15．[2014•全国卷] 设x，y满足约束条件x－y≥0，x＋2y≤3，x－2y≤1，则z＝x＋4y的最大值为________．
15．5
9．[2014•新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值为( )
A．8 B．7
C．2 D．1
9．B
11．[2014•全国新课标卷Ⅰ] 设x，y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
11．B
10．[2014•山东卷] 已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0， 当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4
C.5 D．2
10．B
6．、[2014•四川卷] 执行如图12的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )
图12
A．0 B．1 C．2 D．3
6．C
2．[2014•天津卷] 设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．B
12．[2014•浙江卷] 若实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1，则x＋y的取值范围是________．
12．[1，3]
E6 基本不等式
9．、[2014•重庆卷] 若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 3 B．7＋2 3
C．6＋4 3 D．7＋4 3
9．D
16．[2014•湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，
F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋121v＋18≤76 0002 v•121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．
(2)当l＝5时，
F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋100v＋18≤2000，
当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．
14．、[2014•江苏卷] 若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______．
14.6－24
16．[2014•辽宁卷] 对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，1a＋2b＋4c的最小值为________．
16．－1
21．，，[2014•山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为4105.
(1)求椭圆C的方程．
(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
(i)设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
(ii)求△OMN面积的最大值．
21．解：(1)由题意知，a2－b2a＝32，可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±5a5.
因此2×25a5＝4105，即a＝2，所以b＝1，
所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)(i)设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．
因为直线AB的斜率kAB＝y1x1，且AB⊥AD，
所以直线AD的斜率k＝－x1y1.
设直线AD的方程为y＝kx＋m，
由题意知k≠0，m≠0.
由y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－8mk1＋4k2，
因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2m1＋4k2.
由题意知x1≠－x2，
所以k1＝y1＋y2x1＋x2＝－14k＝y14x1.
所以直线BD的方程为y＋y1＝y14x1(x＋x1)．
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0)．
可得k2＝－y12x1.
所以k1＝－12k2，即λ＝－12.
因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．
(ii)直线BD的方程y＋y1＝y14x1(x＋x1)，
令x＝0，得y＝－34y1，即N0，－34y1.
由(i)知M(3x1，0)，
所以△OMN的面积S＝12×3|x1|×34|y1|＝
98|x1||y1|.
因为|x1||y1|≤x214＋y21＝1，当且仅当|x1|2＝|y1|＝22时，等号成立，
此时S取得最大值98，
所以△OMN面积的最大值为98.
E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用 9．、[2014•安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ) E9 单元综合
20．、、[2014•天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.
20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2•2＋x3•22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an
≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－qn－1
＝（q－1）（1－qn－1）1－q－qn－1
＝－1<0，
所以s
16．[2014•浙江卷] 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．
16.63
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
9．D [解析] 当a≥2时，
f(x)＝3x＋a＋1（x>－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x<－a2.
由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8.
当a<2时，f(x)3x＋a＋1x>－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x<－1）.
由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.
9．[2014•福建卷] 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
9．C
19．、、、[2014•江苏卷] 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)
所以f(x)是R上的偶函数．
(2)由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．
令 t＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t－1t2－t＋1＝
－1t－1＋1t－1＋ 1对任意 t>1成立．
因为t－1＋1t－1＋ 1≥2 （t－1）•1t － 1＋1＝3, 所以 －1t－1＋1t－1＋ 1≥－13，
当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．
因此实数 m 的取值范围是－∞，－13.
(3)令函数 g(x)＝ex＋1ex－ a(－x3＋3x)，则g′ (x) ＝ex－1ex＋3a(x2－1)．
当 x≥1时，ex－1ex>0，x2－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x30＋ 3x0 )<0 成立， 当且仅当最小值g(1)<0，
故 e＋e－1－2a<0, 即 a>e＋e－12.
令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－e－1x. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)
h(x)
故①当a∈e＋e－12，e⊆(1，e)时， h(a)<0，
即a－1<(e－1)ln a，从而ea－1
③当a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈e＋e－12，e时，ea－1
12．、[2014•辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B.－6，－98
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
12．C
21．、、[2014•陕西卷] 设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；
(3)若对任意b＞a＞0，f（b）－f（a）b－a＜1恒成立，求m的取值范围．
21．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex，则f′(x)＝x－ex2，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
①当m >23时，函数g(x)无零点；
②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0
综上所述，当m>23时，函数g(x)无零点；
当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0
等价于f(b)－b
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝1x－mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－x－122＋14(x>0)恒成立，
∴m≥14对m＝14，h′（x）＝0仅在x＝12时成立，
∴m的取值范围是14，＋∞.