导数的概念与计算一轮复习专练
详细内容
导数的概念与计算一轮复习专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
导数的概念及运算1、2、3、12
导数的几何意义4、5、7、8、9、13
导数的综合问题6、10、11、14
一、选择题
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则 为( C )
(A)Δx+ +2(B)Δx- -2
(C)Δx+2(D)Δx- +2
解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2
=(Δx)2+2•(Δx),
∴ =Δx+2,选C.
2.若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'( 0)等于( D )
(A)2(B)0(C)-2(D)-4
解析:∵f'(x)=2f'(1)+2x,
∴f'(1)=2f'(1)+2,
∴f'(1)=-2,
∴f'(x)=2x-4,
∴f'(0)=-4.
故选D.
3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x =1处的导数是( B )
(A)0(B)2cos 1-sin 1
(C)co s 1-sin 1(D)1
解析:∵y'=(x2cos x)'
=(x2)'cos x+x2(cos x)'
=2xcos x-x2sin x,
∴在x=1处的导数为2cos 1-sin 1,
故选B.
4.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为( C )
(A)y=-x-1( B)y=-x+3
(C)y=x+1(D)y=x-1
解析:y'=2- ,
所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1,
因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,
即y=x+1,故选C.
5.(2013潍坊模拟)若曲线f(x)=x•sin x+1在x= 处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( D )
(A)-2(B)-1(C)1(D)2
解析:f'(x)=sin x+xcos x,依题意,
f' =1,且- ×1=-1,
解得a=2,
故选D.
6.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f'(x)为f(x)的导函数,已知y=f'(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则 的取值范围是( C )
(A) (B) ∪(5,+∞)
(C) (D)(-∞,3)
解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,
由f(2a+b)<1=f(4),可得 画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),
而 可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项C为所求.故选C.
二、填空题
7.设直线y= x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为 .
解析:由已知条件可得直线的斜率k= ,
y'=(ln x)'= = ,
得切点的横坐标为x=2,
切点坐标为(2,ln 2).
由点(2,ln 2)在切线y= x+b上可得
b=ln 2- ×2=ln 2-1 .
答案:ln 2-1
8.(2013杭州质检)若曲线C:y=ax+ln x存在斜率为1的切线,则实数a的取值范围是 .
解析:∵切线斜率k=a+ =1(x>0),
∴a=1- (x>0),
由此可得a<1.
答案:(-∞,1)
9.等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为 .
解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],
∴f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x•[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]'
∴f'(0)=a1•a2•a3•…•a2012
=(a1•a2012)1006=41006=22 012.
∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.
答案:y=22012x
10.已知直线l与曲线f(x)=x2+3x-2+ln x相切,则直线l的斜率的最小值为 .
解析: 由导数的几何意义可知,曲线上任意一点P(x,y)处的切线l的斜率为f'(x)=2x+3+ .
因为x>0,
所以2x+ ≥2 =2 (当且仅当2x= ,
即x= 时取等号),
所以f'(x)=2x+3+ ≥2 +3,
即直线l的斜率的最小值为2 +3.
答案:2 +3
11.若曲线y=sin x- 存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围为 .
解析:依题意曲线y=sin x- 存在斜率为零的切线,
亦即方程y'=0有实数根.
而y'=cos x- ,
所以方程cos x- =0有解,
即方程a=2cos x有解.
设函数g(x)=2cos x,
则函数g(x)的值域是[-2,2],
因此实数a的取值范围是[-2,2].
答案:[-2,2]
三、解答题
12.(1)求下列函数的导数.
①y=(2x2+ 3)(3x-1);
②y=( -2)2;
③y=x-sin co s .
(2)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f'(x)=xcos x.
解:(1)①法一 y'=(2x2+3)'(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)'
=4x(3x-1)+3(2x2+3)
=18x2-4x+9.
法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,
∴y'=(6x3-2x2+9x-3)'=18x2-4x+9.
②∵y=( -2)2=x-4 +4,
∴y'=x'-(4 )'+4'=1-4× =1-2 .
③∵y=x-sin cos =x- sin x,
∴y'=x'- sin x '=1- cos x.
(2)由已知f'(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]'=[(ax+b)sin x]'+[(cx+d)cos x]'=(ax+b)'sin x+(ax+b)(sin x)'+(cx+d)'cos x+(cx+d)(cos x)'=asin x+(ax+b)cos x+os x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.
∵f'(x)=xcos x,∴必须有
即 ⇒a=d=1,b=c=0.
13.已知函数f(x)= 在x= 处的切线为l,直线g(x)=kx+ 与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.
解:因为f(x)= ,
所以f'(x)= .
所以切线l的斜率为k=f' =1,切点为T , .
所以切线l的方程为x-y+ =0.
因为切线l与直线g(x)=kx+ 平行,
所以k=1,
即g(x) =x+ .
f(x) 的图象上的点到直线g(x)=x+ 的最短距离为切线l:x-y+ =0与直线x-y+ =0之间的距离,
所以所求最短距离为 = .
14.已知点M是曲线y= x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;
(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
解:(1)y'=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
∴当x=2时,y'=-1,y= ,
∴斜率最小的切线过 ,斜率k=-1,
∴切线方程为x+y- =0.
(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,
∴α∈ ∪ .