数列的概念与简单表示法一轮复习专练
详细内容
数列的概念与简单表示法一轮复习专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
数列的概念与表示法3、5
由数列的前几项求数列的通项4、9
递推公式的应用2、6、10
an与Sn的关系1、11、14
数列与函数7、8、12、13、15
一、选择题
1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( A )
(A)15(B)16(C)49(D)64
解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故选A.
2.(2013山师大附中高三模拟)数列{an}中,a1=1,an= +1,则a4等于( A )
(A) (B) (C)1(D)
解析:由a1=1,an= +1得,
a2= +1=2,a3 = +1= +1= ,
a4= +1= +1= .故选A.
3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C )
(A)1, , , ,…
(B)-1,-2,-3,-4,…
(C)-1,- ,- ,- ,…
(D)1, , ,…,
解析:根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故满足要求的是选项C.故选C.
4.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的一个通项公式是( C )
(A)an=n2-n+1(B)an=
(C)an= (D)an=
解析:从题图中可观察星星的构成规律,
n=1时,有1个;n=2时,有3个;
n=3时,有6个;n=4时,有10个;…
∴an=1+2+3+4+…+n= ,
故选C.
5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是( B )
(A)①②④⑤(B)①④⑤
(C)①③④(D)②⑤
解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一,故选B.
6.已知数列{an}满足a1=0,an+1= (n∈N*),则a2 0等于( B )
(A)0(B)- (C) (D)
解析:利用a1=0和递推公式可求得
a2=- ,a3= ,a4=0,a5=- ,
以此类推,数列{an}的项周期性出现,其周期为3.
所以a20=a6×3+2=a2=- .故选B.
7.(2013太原一模)已知函数f(x)= 若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( C )
(A) ,3 (B) ,3
(C)(2,3)(D)(1,3)
解析:由题意,an=f(n)=
要使{a n}是递增数列,必有
解得,2
x12345
f(x)54312
(A)2(B)3(C)4(D)5
解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f( 5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{an}的项周期性出 现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选 D.
二、填空题
9.数列- , ,- , ,…的一个通项公式为 .
解析:观察各项知,其通项公式可以为an= .
答案:an=
10.(2013广西一模)数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),则a7= .
解析:由an+1=an+an+2,得an+2=an+1-an.
所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1.
答案:1
11.(2013青岛模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n-1,则a1+a25= .
解析:∵Sn=n2+2n-1,∴a1=S1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.
∴an=
∴a1+a25=2+51=53.
答案:53
12.已知数列{an}的通项an=n2(7-n)(n∈N*),则an的最大值是 .
解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,
当x>0时,由f'(x)=-3x2+14x=0得,x= .
当0
则f(x)在 上单调递增,
当x> 时,f'(x)<0,
f(x)在 上单调递减,
所以当x>0时,f(x)ma x=f .
又n∈N*,4< <5,a4=48,a5=50,
所以an的最大值为50.
答案:50
三、解答题
13.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.
(2)是.令an=150,即n2-7n+6=150,
解得n=16或n=-9(舍去),
即150是这个数列的第16项 .
(3 )令an=n2-7n+6>0,
解得n>6或n<1(舍).
故数列从第7项起各项都是正数.
14.(2013合肥模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn,且4Sn=an+1(n∈N*).
(1)求a1,a2.
(2)设bn=log3|an|,求数列{bn}的通项公式.
解:(1)由已 知4S1=a1+1,即4a1=a1+1,
∴a1= .
又∵4S2=a2+1,
即4(a1+a2)=a2+1,
∴a2=- .
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1= (an+1)- (an-1+1),
即3an=-an-1,
由题意知数列各项不为零.
∴ =- 对n≥2恒成立,
∴{an}是首项为 ,公比为- 的等比数列,
∴an= - n-1=(-1)n-13-n,
∴log3|an|=log33-n=-n,
即bn=-n.
15.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.
解:(1)由an=n2-n-30,得
a1=12-1-30=-30,
a2=22-2-30=-28,
a3=32-3-30=-24.
设an=60,则60=n2-n-30.
解之得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此数列的第10项.
(2)令an=n2-n-30=0,
解 得n=6或n=-5(舍去).
∴a6=0.
令n2-n-30>0,
解得n>6或n<-5(舍去).
∴当n>6(n∈N*)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得0
由an=n2-n-30= -30 ,(n ∈N*)
知{an}是递增数列,且
a1