正弦定理和余弦定理及其应用一轮复习专练
详细内容
正弦定理和余弦定理及其应用一轮复习专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
用正、余弦定理解三角形1、8、9、12
与三角形面积有关的问题2、4
判断三角形的形状3、11
实际应用问题7、13
综合应用5、6、10、14
一、选择题
1.(2013广东湛江十校联考)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,则a等于( A )
(A)2 (B)2 (C) - (D)4
解析:A=180°-30°-15°=135°,
由正弦定理 = ,得 = ,
即a=2 .故选A.
2.(2013安阳模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是( D )
(A)10 (B)30 (C)20 (D)15
解析:设A、B、C所对边长分别为b-4,b,b+4,
则cos 120°= ,
∴b2-10b=0,
∴b=10或b=0(舍去),
∴b=10,b-4=6,
∴三角形的面积S= ×10×6× =15 .
故选D.
3.(2013湖州模拟)在△ABC中,若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC的形状是( D )
(A)钝角三角形(B)直角三角形
(C)锐角三角形(D)不能确定
解析:∵sin2A+sin2B>sin2C,
∴a2+b2>c2,即a2+b2-c2>0,
∴cos C= >0,
又C∈(0,π),
∴0
4.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且 a=1,b= ,则S△ABC等于( C )
(A) (B) (C) (D)2
解析:∵A、B、C成等差数列,
∴A+C=2B,∴B=60°.
又a=1,b= ,
∴ = ,
∴sin A= = × = ,
∴A=30°,
∴C=90°.
∴S△ABC= ×1× = .故选C.
5.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+co s 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D )
(A)10(B)9(C)8(D)5
解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,
即cos2A= ,
又因为△ABC为锐角三角形,
所以cos A= .
在△ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6× ,
即b2- b-13=0,
即b=5或b=- (舍去),故选D.
6.(2012年高考陕西卷)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为( C )
(A) (B) (C) (D)-
解析:由余弦定理得cos C= = ≥ = ,
当且仅当a=b,即△ABC为等腰三角形时取到等号.
故选C.
二、填空题
7.
某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是120元/m2,则购买这种草皮需要 元.
解析:三角形空地面积
S= ×12 ×25×sin 120°=225(m2),
故共需225×120=27000(元).
答案:27000
8.(2012年高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=- ,则b= .
解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2aos B
得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)× - ,
即15b-60=0,得b=4.
答案:4
9.(2013哈尔滨模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A= ,co s B= ,b=3,则边c= .
解析:∵cos A= ,cos B= ,
A,B∈(0,π),
∴sin A= ,sin B= ,
∴sin(A+B)= × + × = .
即sin C= .
由正弦定理 = 得
c= = = .
答案:
10.在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c ),b=(b,-cos B)且a⊥b,则B= .
解析:由a⊥b ,得a•b=bcos C-(2a-c)cos B=0,
利用正弦定理,可得
sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=
sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,
即sin(B+C)=sin A=2sin Ac os B,
因为sin A≠0,故cos B= ,
因此B= .
答案:
11.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC的形状为 .
解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得
sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,
2sinBcos A=2sin Acos A.
∴cos A=0或sin A=sin B.
∵0
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
答案:等腰或直角三角形
三、解答题
12.(2013兰州市第一次诊断)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,a2=b2+c2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2 ,b=2,求c的值.
解:(1)由a2=b2+c2+bc,
得 =- .
∴cos A=- .
∵0
(2)由正弦定理,
得sin B= sin A= × = .
∵A= , 0
∴C=π-(A+B)= .
∴c=b=2.
13.
如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.
(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等?
( 2)求B、D的距离.
解:(1)如图所示,在△ADC中,
∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,
∴CD=AC=0.1 km,
又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
∴∠CED=90°,
∴CB是△CAD底边AD的中垂线,
∴BD=BA.
(2)在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,
由正弦定理得 = ,
∴AB= = (km),
∴BD= (km).
故B、D间的距离是 km.
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.
(1)求证:a,b,c成等比数列;
(2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.
(1)证明:∵在△ABC中,
sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,
∴sin B = • ,
∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,
∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C,
∵A+C=π-B,
∴sin(A+C)=sin B,
∴sin2 B=sin Asin C,
由正弦定理得,b2=ac,
∴a,b,c成等比数列.
(2)解:∵a=1,c=2,
∴b2=ac=2,∴b= ,
∴cos B= = = ,
∵0
∴△ABC的面积S= acsin B= ×1×2× = .
大题 冲关集训(二)
1.(2012年高考大纲全国卷)△ABC中,内角A、B、C成等差数列,其对边a、b、c满足2b2=3ac,求A.
解:由A、B、C成等差数列及A+B+C=180° 得B=60°,
A+C=120°.
由2b2=3ac及正弦定理得2sin2B=3sin Asin C,
故sin Asin C= .
所以cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C
=cos Acos C- ,
即cos Acos C- =- ,cos Acos C=0,
cos A=0或cos C=0,所以A=90°,或A=30°.
2.(2013年高考安徽卷)已知函数f(x)=4cos ωx•sin ωx+ (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间 上的单调性.
解:(1)f(x)=4cos ωx sin ωxcos +cos ωxsin
=4cos ωx sin ωx+ cos ωx
=2 sin ωxcos ωx+2 cos2 ωx
= sin 2ωx+ (cos 2ωx+1)
= sin 2ωx+ cos 2ωx+
=2sin 2ωx+ + ,
因为f(x)的最小正周期为π且ω>0,故 =π,则ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin 2x+ + .
若0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ .
当 ≤2x+ ≤ ,
即0≤x≤ 时,f(x)单调递增;
当 <2x+ ≤ ,
即
3.(2012年高考江西卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A= ,bsin +C -csin +B =a.
(1)求证:B-C= ;
(2)若a= ,求△ABC的面积.
(1)证明:由bsin +C -csin +B =a,应用正弦定理,得sin Bsin +C -sin Csin +B =sin A,
sin B sin C+ cos C -sin C sin B+ cos B
= ,
整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,
即sin(B-C)=1.
由于0
因此B= ,C= .
由a= ,A= ,
得b= =2sin ,c= =2sin ,
所以△ABC的面积
S= bcsin A
= sin sin
= cos sin
= .
4.(2013年高考山东卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B= .
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解:(1)由余弦定理得cos B= ,
即 =cos B,
得 = .
∴ac=9.
联立 得a=3,c=3.
(2)由a=3,b=2,c=3,
∴cos A= = ,
∴sin A= = ,
又cos B= 得sin B= ,
∴sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B
= × - ×
= .
5.(2013重庆育才中学月考)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若m= sin2 ,1 ,n=(-2,cos 2A+1),且m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)当a=2 ,且△ABC的面积S= 时,求边c的值和△ABC的面积.
解:(1)由于m⊥n,
所以m•n=-2sin2 +cos 2A+1
=1-2cos2 +2cos2A-1
=2cos2A-cos A-1
=(2cos A+1)(cos A- 1)
=0.
所以cos A=- 或cos A=1(舍去),
又A∈(0,π),
故角A为 .
(2)由S= 及余弦定理得
= absin C,整理得
tan C= .又C∈(0,π),
所以C= .
由(1)知A= ,故B=C= .
又由正弦定理 = 得c=2,
所以△ABC的面积S= acsin B= .
6.(2013浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,C= ,b=5,△ABC的面积为10 .
(1)求 a、c的值;
(2)求sin A+ 的值.
解:(1)∵S△ABC= absin C=10 ,
∴a×5×sin =20 ,
得a=8.
c2=a2+b2-2abcos C,
c=
=
=7.
(2)∵ = ,
∴sin A= = = ,
cos A= = = ,
sin A+ =sin Acos +cos Asin
= × + × = .
7.(2013江苏扬州中学模拟)函数f(x)=6cos2 + sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)= ,且x0∈ - , ,求f(x0+1)的值.
解:(1)f(x)=6cos2 + sin ωx-3
=3cos ωx+ sin ωx=2 sin ωx+ .
由题意知正三角形ABC的高为2 ,则BC=4,
所以函数f(x)的周期T=4×2=8,
即 =8,解得ω= .
所以函数f(x)的值域为[-2 ,2 ].
(2)因为f(x0)= ,由(1)有
f(x0)=2 sin + = ,
即sin + = ,
由x0∈ - , 得 + ∈ - , .
即cos + = = ,
故f(x0+1)=2 sin + +
=2 sin + +
=2 sin + cos +cos + •sin
=2 × + ×
= .
8.(2013大庆模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知2S△ABC= • .
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,求a+c的取值范围.
解:(1)由已知得acsin B= aos B,
∴tan B= .
∵0
(2)法一 由余弦定理得4=a2+c2-2aos ,
∴4=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3 2= (当且仅当a=c时取等号),
解得0
∴2
法二 由(1)知B= ,
由正弦定理得
a= sin A,c= sin C,
∴a+c= (sin A+sin C)
= [sin A+sin(A+B)]
= sin A+sin A+
= sin A+ sin A+ cos A
=4 sin A+ cos A
=4sin A+ .
∵0