2015高考数学合情推理与演绎推理一轮复习测试

详细内容

2015高考数学合情推理与演绎推理一轮复习测试

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
【选题明细表】
知识点、方法题号
归纳推理3、5、9、11、13、15
类比推理2、4、8、10、12
演绎推理1、6、7、14

一、选择题
1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是(　B　)
(A)①(B)②(C)③(D)①和②
解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.
2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b =c+d ⇒a=c,b=d”;
③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是(　C　)
(A)0(B)1(C)2(D)3
解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.
3.(2013上海闸北二模)平面 内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(　C　)
(A)n+1(B)2n
(C) (D)n2+n+1
解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+ = 个区域,选C.
4.定义A*B,B*C,C*D,D *A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是(　B　)

(A)B*D,A*D(B)B*D,A*C
(C)B*C,A*D(D)C*D,A*D
解析:观察图形及对应运算分析可知,
基本元素为A→|,B→□,C→―,D →⚫,
从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.
5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1, 3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是(　B　)
(A)(7,5)(B)(5,7)(C)(2,10)(D)(10,1)
解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,
第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.
这样前n组一共有 个整数对.
注意到 <60< .
因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.
6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2 (大前提),x+ ≥2 (小前提),所以x+ ≥2(结论).以上推理过程中的错误为(　A　)
(A)小前提(B)大前提
(C)结论(D)无错误
解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2 ,要求a、b都是正数;x+ ≥2 是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.
7.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R,a*0=a;
(3)对任意a,b∈R,
(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.
关于函数f(x)=(3x)* 的性质,有如下说法
①函数f(x)的最小值为3;
②函数f(x)为奇函数;
③函数f(x)的单调递增区间为 , .
其中所有正确说法的个数为(　B　)
(A)0(B)1(C)2(D)3
解析: f(x)=f(x)*0= *0
=0* +[(3x)*0]+ -2×0
=3x× +3x+ =3x+ +1.
当x=-1时,f(x)<0,故①错误;
因为f(-x)=-3x- +1≠-f(x),
所以②错误;令f'(x)=3- >0,
得x> 或x<- ,
因此函数f(x)的单调递增区间为 , ,③正确.故选B.
二、填空题
8.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足 + =1,则a1+a2≤ ”的证明过程:
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤ .
根据上述证明方法,若n个正实数满足 + +…+ =1时,你能得到的结论为　　　　.(不必证明)
解析:由题意可构造函数
f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2
=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,
因对一切实数x,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,
即a1+a2+…+an≤ .
答案:a1+a2+…+an≤
9.(2013山东莱芜模拟)容易计算2×5=10,22×55=1210,222×55 5=123210,2222×5555=12343210.根据此规律猜想 × 所得结果由左向右的 第八位至第十位的三个数字依次为　　　　.
解析:由2×5,22×55,222×555的结果可知 × 的结果共18位,个位为0,其他数位从左向右为连续的自然数且左右对称,即 × =123456789876543210,所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898.
答案:898
10.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB 的中点M与实数 对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与　　　　对应.
解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与 , 对应.
答案: ,
11.观察下列几个三角恒等式
①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=1;
②tan 5°tan 100°+tan 100°tan(-15°)+tan(-15°)tan 5°=1;
③tan 1 3°tan 35°+tan 35°tan 42°+tan 42°tan 13°=1.
一般地,若tan α,tan β,tan γ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为　.
解析:所给三角恒等式都为tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1的结构形式,
且α、β、γ之间满足α+β+γ=90°,
所以可猜想当α+β+γ=90°时,
tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1.
答案:当α+β+γ=90°时,tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,　　　　,　　　　, 成等比数列.
解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4, , , 成等比数列.
答案: 　
13.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个 图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖　　　　块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是　　　　.

解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100 个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是 .
答案:503　
三、解答题
14.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B> ,
∴A> -B,
∵y=sin x在 上是增函数,
∴sin A>sin =cos B,
同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,
∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
15.已知函数f(x)= ,
(1)分 别求f(2)+f ,f(3)+f ,f(4)+f 的值;
(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;
(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f +f +…+f .
解:(1)∵f(x)= ,
∴f(2)+f = +
= +
=1,
同理可得f(3)+f =1,
f(4)+f =1.
(2)由(1)猜想f(x)+f =1,
证明:f(x)+f = +
= +
=1.
(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f +f +…+f
=f(1)+ f(2)+f + f(3)+f +…+ f(2013)+f
= +
= +2012
= .