导数的概念及其运算专项训练（含解析2015高考数学一轮）

详细内容

导数的概念及其运算专项训练（含解析2015高考数学一轮）

A组　基础演练
1．(2014•淄博模拟)已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为
(　　)
A．－1　　　　　　　　　B．1
C．±1 D．－2
解析：f′(x)＝2ax＋3，依题意f′(2)＝7，即4a＋3＝7，得a＝1，故选B.
答案：B
2．(2014•阳泉一模)直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为
(　　)
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.
答案：C
3．(2014•聊城模拟)抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　)
A．142 B．72
C.528 D.728
解析：∵y＝x2，∴y′＝2x，而抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线只有一条且斜率为1，∴2x＝1⇒x＝12，∴切点坐标为12，14，∴该点到直线的距离为d＝12－14－22＝742＝782.即所求的最短距离为728.
答案：D
4．(理科)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为
(　　)
A.13 B.12
C.23 D．1
解析：∵y′＝－2e－2x，
k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，
∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，
即y＝－2x＋2.
如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为23，23，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，∴S＝12×1×23＝13.
答案：A
4．(文科)(2014•哈尔滨模拟)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为
(　　)
A．y＝－3x B．y＝－2x
C．y＝3x D．y＝2x
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2是偶函数，
∴a＝0，切线斜率k＝f′(0)＝－2，
∴切线方程为y＝－2x.
答案：B
5．(2013•江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：令t＝ex，故x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f ′(x)＝1x＋1，所以f′(1)＝1＋1＝2.
答案：2
6．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′π2sin x＋cos x，则f′π4＝________.
解析：因为f(x)＝f′(π2)sin x＋cos x，
所以f′(x)＝f′π2cos x－sin x，
所以f′π2＝f′π2cosπ2－sinπ2即f′π2＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x，
故f′π4＝－cos π4－sinπ4＝－2.
答案：－2
7．(2013•广东)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析：令f(x)＝ax2－ln x，
得f′(x)＝2ax－1x，
∴f′(1)＝2a－1＝0，得a＝12.
答案：12
8．已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值．
解：因为f′(x)＝x－ax(x＞0)，
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，解得a＝2，b＝－2ln2.
9．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－14.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
B组　能力突破
1．曲线y＝sin xsinx＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为
(　　)
A．－12 B.12
C．－22 D.22
解析：∵y′＝cos xsin x＋cos x－cos x－sin xsin xsin x＋cos x2
＝1sin x＋cos x2，故y′|x＝π4＝12，
∴曲线在点Mπ4，0处的切线的斜率为12.
答案：B
2．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
(　　)
A.0，π4 B.π4，π2
C.π2，3π4 D.3π4，π
解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，
则k＝y′＝－4exex＋12＝－4ex＋1ex＋2.
因为ex＞0，所以由基本不等式可得
k≥－42ex•1ex＝＋2－1.
又k＜0，所以－1≤k＜0，即－1≤tan α＜0.
所以3π4≤α＜π.故选D.
答案：D
3．(2014•岳阳一模)设曲线y＝x上有一点P(x1，y1)，与曲线切于点P的切线为m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为________．
解析：依题意知，y′|x＝x1＝12x1，
∵n与m垂直，∴n的斜率为－2x1，
∴直线n的方程为y－y1＝－2x1(x－x1)，
由题意设点Q，点R的坐标分别为(xQ,0)，(xR,0)．
令y＝0，则－y1＝－2x1(xQ－x1)，
∴xQ＝12＋x1，由题意知，xR＝x1，
∴|RQ|＝|xQ－xR|＝12.
答案：12
4．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.
当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，
于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，
即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．
令x＝0，得y＝－6x0，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝12－6x0|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.