2015高考理科数学数列总复习题(含答案)

详细内容

[A组　基础演练•能力提升]
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A．15　　　　B．12　　　　C．－12　　　　D．－15
解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.
答案：A
2．数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大值是(　　)
A．310 B．19
C.119 D.1060
解析：因为an＝1n＋90n，运用基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝119最大．
答案：C
3．(2014年银川模拟)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－1an，记数列{an}的前n项之积为Tn，则T2 013的值为(　　)
A．－12 B．－1
C.12 D．2
解析：由a2＝ 12，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而T2 013＝(－1)671＝－1.
答案：B
4．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝(　　)
A．638 B．639
C．640 D．641
解析：由已知SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，∴{Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选C.
答案：C
5．(2014年长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x•y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为(　　)
A．2n－1 B．n
C．2n－1 D.32n－1
解析：由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴数列{ an}是首项为1，公比为32的等比数列，∴an＝32n－1.
答案：D
6．(2014年石家庄模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝anan＋2(n∈N*)．若bn＋1＝ (n－λ)1an＋1，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(　　)
A．λ>2 B．λ>3
C．λ<2 D．λ<3
解析：由已知可得1an＋1＝2an＋1，1an＋1＋1＝21an＋1，1a1＋1＝2≠0，则1an＋1＝2n，bn＋1＝2n(n－λ)，bn＝2n－1(n－1－λ)(n≥2，)．b1＝－λ也适合上式，故bn＝2n－1(n－1－λ)(n∈N*)．由bn＋1>bn，得2n(n－λ)>2n－1(n－1－λ)，即λ答案：C
二、填空题
7．(2014 年沈阳模拟 )数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)•an＝(n－1)•3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)•an－1＋(2n－1)•an＝(n－1)•3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)•an－1＝(n－2)•3n＋3，两项相减得an＝3n.
答案：3n
8．根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有________个点．

解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个图中点的个数为
(n－1)×n＋1＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
9．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)78n，则当an取得最大值时，n等于________．
解析：由题意知an≥an－1，an≥an＋1，
∴n＋278n≥n＋178n－1，n＋278n≥n＋378n＋1.
解得n≤6，n≥5.∴n＝5或6.
答案：5或6
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝4n＋b.
解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.
又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5.
(2)当n＝1时， a1＝S1＝4＋b.
n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3•4n－1，
因此，当b＝－1时，a1＝3适合an＝3•4n－1，
∴an＝3•4n－1.
当b≠－1时，a1＝4＋b不适合an＝3•4n－1，
∴an＝4＋b，n＝1，3•4n－1，n≥2.
综上可知当b＝－1时，an＝3•4n－1；
当b≠－1时，an＝4＋b，n＝1，3•4n－1，n≥2.x.k.b.1
11．已知数列{an}满足a1＝1，an＝ an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，
∴a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12.
(2)由已知an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：
an－an－1＝3n －2，由递推关系，
得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，
叠加得：
an－a1＝4＋7＋…＋3n－2
＝n－14＋3n－22＝3n2－n－22，
∴an＝3n2－n2(n≥2)．
当n＝1时，1＝a1＝3×12－12＝1，
∴数列{an}的通项公式an＝3n2－n2.
12．(能力提升)(2014年合肥质检)已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11 000？
解析：(1)an＝anan－1•an－1an－2•…•a3a2•a2a1•a1
＝12n－1•12n－2•…•122•121
＝121＋2＋…＋(n－1)＝12n－1n2，∴an＝12nn－12.
(2)当n≤4时，n－1n2≤6，an＝12n－1n2≥164，
当n≥5时，n－1n2≥10，an＝12n－1n2≤11 024.
∴从第5项开始各项均小于11 000.
[B组　因材施教•备选练习]
1．(2014年石家庄模拟)已知数列an：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为(　　)
A.3724 B.76 C.1115 D.715
解析：通过将数列的前10项分组得到第 一组有一个数11，分子分母之和为2；第二组有两个数21，12，分子分母之和为3；第三组有三个数31，22，13，分子分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个，第9个数，分子分母之和为15，所以a99＝78，a100＝69，故选A.
答案：A
2．(2014年济南模拟)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.
(1)分别求数列{an }，{bn}的通项公式；
(2)设＝bn＋2an＋2(n∈N*)，求证：＋1<≤13.
解析：(1)由an＋1＝2Sn＋1　①，
得an ＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)　②，
①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，
∴an＋1＝3an(n≥2，n∈N *)，
又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，∴an＝3n－1.
∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，
∴bn＝3n－6.
(2)∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，
∴＝3n3n＋1＝n3n，
∴＋1－＝1－2n3n＋1<0，
∴＋1<<…则＋1<≤13.