二次函数与幂函数专项练习（附解析2015高考一轮复习数学）

详细内容

二次函数与幂函数专项练习（附解析2015高考一轮复习数学）
A组　基础演练
1．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点2，22，则f(4)的值等于
(　　)
A．16 B.116
C．2 D.12
解析：将点2，22代入得：2α＝22，所以α＝－12，
故f(4)＝12.
答案：D
2．(2014•河北张家口模拟)已知函数h(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，则k的取值范围是
(　　)
A．(－∞，40] B．[160，＋∞)
C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．∅
解析：函数h(x)的对称轴为x＝k8，要使h(x)在[5,20]上是单调函数，应有k8≤5或k8≥20，即k≤40或k≥160，故选C.
答案：C
3．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是
(　　)

解析：由A，C，D知，f(0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－b2a＞0，
知A、C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－b2a＜0，B错误．
答案：D
4．(2014•温州模拟)方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A.－235，＋∞ B．(1，＋∞)
C.－235，1 D.－∞，－235
解析：令f(x)＝x2＋ax－2，注意到f(0)＝－2，
由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，
则f1≤0，f5≥0.解得－235≤a≤1.
答案：C
5．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为－32，49，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．
解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax＋322＋49(a＜0)，方程ax＋322＋49＝0的两个根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2－49a＝7，
∴a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
6．已知函数f(x)＝x ，给出下列命题：
①若x＞1，则f(x)＞1；②若0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＞x2－x1；③若0＜x1＜x2，则x2f(x1)＜x1f(x2)；④若0＜x1＜x2，则fx1＋fx22＜fx1＋x22.
其中正确命题的序号是________．
解析：对于①，f(x)＝x 是增函数，f(1)＝1，
当x＞1时，f(x)＞1，①正确；
对于②，fx2－fx1x2－x1＞1，可举例(1,1)，(4,2)，故②错；
对于③，fx1－0x1－0＜fx2－0x2－0，说明图象上两点x1，x2到原点连线的斜率越来越大，由图象可知，③错；
对于④，fx1＋fx22＜fx1＋x22，根据图象可判断出④正确．
答案：①④
7．二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是________．
解析：由题意，二次函数对应的抛物线开口向上，对称轴为x＝2，
故f(x)在(－∞，2]上递减，而1－2x2＜1,1＋2x－x2＝－(x－1)2＋2≤2，
∴1－2x2＞1＋2x－x2，即－2＜x＜0.
答案：(－2,0)
8．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a＜0)，
则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，
f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，
Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0，
解得a＝－15或a＝1(舍去)．
因此f(x)的解析式为f(x)＝－15(x－1)(x－3)．
9．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；
(3)求不等式f(x)≥0的解集．
解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，
将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，
得a＝2.
即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.
(2)f(x)＝2(x－1)2－8，
当x∈[0,3]时，由二次函数图象知，
f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.
(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．
B组　能力突破
1．(2014•河南郑州月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，则
(　　)
A．∀m∈A，都有f(m＋3)＞0
B．∀m∈A，都有f(m＋3)＜0
C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0
D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＜0
解析：由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，当x＞1时，f(x)＞0.由a＞b，得1＞ba，设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，则x1＋1＝－ba＞－1，即x1＞－2，由f(m)＜0可得－2＜m＜1，所以1＜m＋3＜4，由抛物线的图象可知，f(m＋3)＞0，选A.
答案：A
2．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
(　　)
A．(0,2) B．(0,8)
C．(2,8) D．(－∞，0)
解析：当m≤0时，显然不合题意；当m＞0时，f(0)＝1＞0，
①若对称轴4－m2m≥0，即0＜m≤4，结论显然成立；
②若对称轴4－m2m＜0，即m＞4，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)＜0即可，即4＜m＜8，
综上，0＜m＜8，选B.
答案：B
3．(2014•天津模拟)若关于x的不等式x2＋12x－12n≥0对任意x∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．
解析：对于n∈N*，－12≤－12n＜0，
∴x2＋12x－12n≥0.
对任意n∈N*成立，等价于x2＋12x－12≥0成立．
原题等价于x2＋12x－12≥0在x∈(－∞，λ]上恒成立，
而x2＋12x－12≥0的解集为(－∞，－1]∪12，＋∞，故λ≤－1.
答案：(－∞，－1]
4．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2.
当a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴f－1＝1＋3a＝－2，f1＝1－a＝2⇒a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，fa＝a－a2＝－2，f1＝1－a＝2⇒a＝－1；
当0＜a≤1时，fa＝a－a2＝－2，f－1＝1＋3a＝2⇒a不存在；
当a＞1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，
∴f－1＝1＋3a＝2，f1＝1－a＝－2⇒a不存在．
综上可得a＝－1.