简单的三角恒等变换复习试题（含解析2015高考数学一轮）

详细内容

简单的三角恒等变换复习试题（含解析2015高考数学一轮）
A组　基础演练
1．化简 2＋cos 2－sin21的结果是
(　　)
A．－cos 1　　　　　　　B．cos 1
C.3cos 1 D．－3cos 1
解析：原式＝1－sin2 1＋1＋2cos21－1＝3cos21
＝3cos 1.
答案：C
2．(教材改编)若sinθ＋π4＝a.则cosθ－π4等于
(　　)
A．－a B．a
C．1－a D．1＋a
解析：cosθ－π4＝cosπ4－θ＝sinπ2－π4－θ
＝sinθ＋π4＝a.
答案：B
3．(2014•潍坊模拟)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为
(　　)
A．y＝sin2x－π3，x∈R
B．y＝sin12x－π6，x∈R
C．y＝sin2x＋π3，x∈R
D．y＝sin12x＋π6，x∈R
解析：y＝sin x y＝sin(x＋ ) y＝sin .
答案：D
4．(2013•浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝
(　　)
A.43 B.34
C．－34 D．－43
解析：(sin α＋2cos α)2＝52，展开得3cos2α＋4sin αcos α＝32，再由二倍角公式得32•cos 2α＋2sin 2α＝0，故tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－322＝－34，选C.
答案：C
5．将函数y＝sinx＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．
答案：y＝sinx＋π6＋2
6．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7(A＞0，ω＞0)，则A＝________，ω＝________.
解析：由已知P点离水面的距离的最大值为17，
∴A＝10.
又水轮每分钟旋转4圈，∴T＝604＝15，∴ω＝2π15.
答案：10　2π15
7．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有fπ8＋t＝fπ8－t，且f(π8)＝－3，则实数m的值等于________．
解析：依题意得，函数f(x)的图象关于直线x＝π8对称，于是当x＝π8时，函数f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1.
答案：－1或－5
8．函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin2x－π6＋1.
(2)∵fα2＝2sinα－π6＋1＝2，
∴sinα－π6＝12.
∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3，
∴α－π6＝π6，∴α＝π3.
9．(2013•辽宁)设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，π2.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a•b，求f(x)的最大值．
解：(1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈0，π2，从而sin x＝12，
所以x＝π6.
(2)f(x)＝a•b＝3sin x•cos x＋sin2x
＝32sin 2x－12cos 2x＋12
＝sin2x－π6＋12，
当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.
所以f(x)的最大值为32.
B组　能力突破
1．(2014•绵阳调研)已知α是锐角，且sinπ2＋α＝34，则sinα2＋π的值等于
(　　)
A.24 B．－24
C.144 D．－144
解析：由sinπ2＋α＝34，得cos α＝34，
又α为锐角，
∴sinα2＋π＝－sin α2＝－1－cos α2
＝－ 1－342＝－18＝－24.
答案：B
2．(2014•青岛模拟)若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝
(　　)
A．－78 B．－14
C.14 D.78
解析：∵sinπ3－α＝14，∴cos2π3－2α
＝1－2sin2π3－α＝1－2×142＝78，
∴cosπ3＋2α＝cosπ－2π3－2α
＝－cos2π3－2α＝－78.
答案：A
3．(2014•海口调研)2cos 5°－sin 25°sin 65°的值为________．
解析：2cos 5°－sin 25°sin 65°
＝2cos 5°－sin30°－5°sin 65°
＝2cos 5°－12cos 5°＋32sin 5°cos 25°
＝32sin 5°＋32cos 5°cos 25°
＝3sin 30°sin 5°＋cos 30°cos 5°cos 25°
＝3cos 25°cos 25°＝3.
答案：3
4．(2014•汕头模拟)已知向量OA→＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m＝(2,1)，n＝(0，－5)，且m⊥(OA→－n)．
(1)求向量OA→；
(2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)．
解：(1)∵OA→＝(cos α，sin α)，
∴OA→－n＝(cos α，sin α＋5)，
∵m⊥(OA→－n)，∴m•(OA→－n)＝0，
即2cos α＋(sin α＋5)＝0，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②联立方程解得
cos α＝－255，sin α＝－55，
∴OA→＝－255，－55.
(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210，
又∵0＜β＜π，
∴sin β＝7210，且π2＜β＜π.
又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×－55×－255＝45，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×45－1＝35，
∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×－210＋45×7210＝25250＝22.