坐标系训练题（附解析2015高考数学一轮）
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坐标系训练题（附解析2015高考数学一轮）
1．(2013•安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为
( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝ π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
解析：在直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.从而垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0，x＝2，即θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
答案：B
2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是
( )
A.1，π2 B.1，－π2
C．(1,0) D．(1，π)
解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＋2y＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.
答案：B
3．(2013•天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为4，π3，则|CP|＝________.
解析：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为4，π3可得点P的直角坐标为(2,23)，
∵|CP|＝2－22＋23－02＝23.
答案：23
4．(2013•江西)设曲线C的参数方程为x＝t，y＝t2(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：曲线C的普通方程为y＝x2，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得ρsin θ＝ρ2cos2θ，整理得ρcos2θ＝sin θ，故曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.
答案：ρcos2θ＝sin θ
5．(2014•广东深圳二模)在极坐标系中，已知两圆C1：ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ，则过两圆圆心的直线的极坐标方程是________．
解析：由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2知2ρcos θ＝1，
即为x＝12，ρ＝2cos θ⇔ρ2＝2ρcos θ，即为x2＋y2＝2x.
利用直线与圆的位置关系可求得直线x＝12被圆x2＋y2＝2x截得弦长为3.
答案：3
6．(2014•陕西西安三模)在极坐标系中，曲线ρ＝4cosθ－π3与直线ρsinθ＋π6＝1的两个交点之间的距离为________．
解析：由题意知曲线C1为(x－3)2＋y2＝1，C2为x2＋y2＝1，两圆相离，两圆圆心距|C1C2|＝3，半径均为1，则|AB|的最小值为|C1C2|－r1－r2＝1.
答案：1
7．(2014•襄阳模拟)极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．
解析：圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4.
直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为x＋y－7＝0.
圆心(－1,0)到直线的距离为
|－1－7|2＝42，
所以圆上的动点到直线的距离的最大值为42＋2.
答案：42＋2
8．(2014•广州模拟)在极坐标系中，点A的坐标为22，π4，曲线C的方程为ρ＝2cos θ，则OA(O为极点)所在直线被曲线C所截弦的长度为________．
解析：由题意知直线OA的直角坐标方程为x－y＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，易知曲线C为圆，且圆心C到直线OA的距离为12，故直线OA被曲线C所截弦的长度为2 1－12＝2.
答案：2
9．(2013•课标全国Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为：x＝4＋5cos t，y＝5＋5sin t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解：(1)将x＝4＋5cos t，y＝5＋5sin t消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，
解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.
所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.
10．(2013•辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcosθ－π4＝22.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解x2＋y－22＝4，x＋y－4＝0
得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.
所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1，
所以b2＝1，－ab2＋1＝2，
解得a＝－1，b＝2.