圆的方程复习测试题（带解析2015高考数学一轮）

详细内容

圆的方程复习测试题（带解析2015高考数学一轮）
A组　基础演练
1．方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是
(　　)
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)
解析：m2＋4－4×3＞0.
答案：B
2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是
(　　)
A．－1＜a＜1　　　　　　B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1
解析：因为点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.
答案：A
3．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，且圆中过点(2,3)的最短弦为AB，则直线AB在x轴上的截距为
(　　)
A．－6 B．2
C．4 D．8
解析：设直线AB与x轴的交点为(m,0)，
∵圆心坐标为(1,1)，
∴3－12－1•3－02－m＝－1，解得m＝8.
答案：D
4．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是
(　　)
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝4
答案：C
5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为
(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
0－12＋b－22＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
6．(2014•云南昆明一模)方程|x|－1＝1－y－12所表示的曲线是________．
解析：由题意得|x|－12＋y－12＝1，|x|－1≥0.
即x－12＋y－12＝1，x≥1
或x＋12＋y－12＝1，x≤－1.
故原方程表示两个半圆．
答案：两个半圆
7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析：过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝1－02－1＝1，
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
8．根据下列条件求圆的方程：
(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解：(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意列出方程组
a2＋b2＝r2a－12＋b－12＝r2，2a＋3b＋1＝0解之得a＝4，b＝－3，r2＝25.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设圆的一般方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则1＋144＋D＋12E＋F＝0，49＋100＋7D＋10E＋F＝0，81＋4－9D＋2E＋F＝0.
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
9．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
解：设圆心为(a，b)，圆与x轴分别交于(x1,0)，(x2,0)，与y轴分别交于(0，y1)，(0，y2)，根据题意知x1＋x2＋y1＋y2＝2，
∵a＝x1＋x22，b＝y1＋y22，∴a＋b＝1.
又∵点(a，b)在线段AB的中垂线上，∴5a－b－5＝0.
联立a＋b＝1，5a－b－5＝0，解得a＝1，b＝0.
∴圆心为(1,0)，半径为4－12＋2－02＝13.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13.
B组　能力突破
1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是
(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
x20＋y20＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则2x＝x0＋42y＝y0－2⇒x0＝2x－4y0＝2y＋2，
代入x20＋y20＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
2．(2013•广东)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是
(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第Ⅰ象限，所以m＞0且d＝|m|2＝1，故m＝2，所以切线方程为x＋y－2＝0，故选A.
答案：A
3．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是________．
解析：令x＝0，可得y2＋2my＋m＋6＝0，由题意知，此方程有两个不相等且同号的实数根，即m＋6＞0，4m2－4m＋6＞0，
解得－6＜m＜－2或m＞3.
答案：－6＜m＜－2或m＞3
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．
解：若设P(x0，y0)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y20＋(x0－1)2＋y20＝2(x20＋y20)＋2，
欲求d的最值，只需求ω＝x20＋y20的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求．
设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，
则ωmin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2，此时dmin＝2×16＋2＝34，P1125，165；
ωmax＝(|OC|＋1)2＝36＝|OP2|2，此时dmax＝2×36＋2＝74，P2185，245.