相似三角形的判定及有关性质练习题（附解析2015高考数学一轮）
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相似三角形的判定及有关性质练习题（附解析2015高考数学一轮）
1．(2012•北京)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则
( )
A．CE•CB＝AD•DB
B．CE•CB＝AD•AB
C．AD•AB＝CD2
D．CE•EB＝CD2
解析：本题考查直角三角形中的射影定理的各种情况．
在Rt△BCD中，DE垂直于BC，∴CE•CB＝CD2；在Rt△ABC中有CD2＝AD•DB，∴CE•CB＝AD•DB，故选A.
答案：A
2．(2013•广东)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
解析：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝32，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE•AD•cos∠EAD＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED＝212.
答案：212
3．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
解析：在Rt△ACD中，CD＝122－42＝82，所以cos D＝232，由于∠D＝∠B，则在Rt△AEB中，cos B＝BEAB，
所以BE＝AB•cos B＝42.
答案：42
4．(2014•西安质检)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为________．
解析：如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：
CD2＝AD•BD，
又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x.
BD＝3x(x＞0)，
∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.
又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
易知△ACD与△CBD的相似比为ADCD＝2x6x＝63.
即相似比为6∶3.
答案： 6∶3
5．(2014•郑州模拟)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于________．
解析：由题意知：BC＝EC，又∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∴EC＝12AB.
即BC＝12AB.∴∠A＝30°.
答案：30°
6．将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF＝________.
解析：设BF＝x.
若△CFB′∽△CBA，
则CFCB＝B′FAB，即4－x4＝x3.
∴12－3x＝4x，∴x＝127.
若△CFB′∽△CAB，则CFCA＝B′FAB，
即4－x3＝x3，得x＝2.
即BF＝2或127.
答案：2或127
7．(2014•西安模拟)如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9 cm2，S△AOB＝________.
解析：∵在▱ABCD中，AB∥DE，
∴△AOB∽△EOD，∴S△AOBS△DOE＝ABDE2.
∵E是CD的中点，
∴DE＝12CD＝12AB，
则ABDE＝2，∴S△AOBS△DOE＝22＝4，
∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm)2.
答案：36 cm2
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上的一点，BFAF＝mn(m，n＞0)，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E.则 BEEC＝________.
解析：如图，作FG∥BC交AE于点G，则FGCE＝FDDC＝1，BEFG＝ABAF＝m＋nn.两式相乘即得BEEC＝m＋nn.
答案：m＋nn
9．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.
求证：AE•BF＝2DE•AF.
证明：过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.
在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，
∴DN＝12BF.
∵DN∥AF，
∴△AFE∽△DNE.
∴AEAF＝DEDN.
又∵DN＝12BF，
∴AEAF＝2DEBF，
即AE•BF＝2DE•AF.
10．(2014•河南南阳一模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连结BF、AF并延长交⊙O于点M、N.
(1)求证：B、E、F、N四点共圆；
(2)求证：AC2＋BF•BM＝AB2.
证明：(1)如图，连结BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB，则∠BEF＝∠BNF＝90°，即∠BEF＋∠BNF＝180°，则B、E、F、N四点共圆．
(2)由直角三角形的射影定理可知AC2＝AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：BFBA＝BEBM，BF•BM＝BA•BE＝BA•(BA－EA)，BF•BM＝AB2－AB•AE，则BF•BM＝AB2－AC2，即AC2＋BF•BM＝AB2