2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(文科)（附答案）

详细内容

2012年福州市高中毕业班综合练习
数学(文科)试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
城市农村
有电脑356户440户
无电脑44户160户
2．某地区共有10万户居民，其中城市住户与农村住户之比为 ．现利用分层抽样方法调查了该地区1000户居民电脑拥有情况，调查结果如表所示，那么可以估计该地区农村住户中无电脑的总户数约为
A．0.24万B．1.6万C．1.76万D． 4.4万
3．如图，在复平面内，若复数 对应的向量分别是 ，则复数 所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．已知 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B． 必要而不充分条件
C．充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
5．如图，执行程序框图后，输出的结果为
A． B．1 C．2 D．4
6．已知 ， 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题中假命题的是
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
7．下列函数中，周期为 ，且在 上单调递增的奇函数是 A． B．
C． D．
8．已知等差数列 的公差不为零， ，且 、 、 成等比数列，则数列 的公差等于
A．1 B．2C．3D．4
9．若从区间 内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为
A． B． C． D．
10．若双曲线 的离心率为2，则 的最小值为
A． B． C． D．
11．如图，三棱锥 的底面是正三角形，各条侧棱均相等， . 设点 、 分别在线段 、 上，且 ，记 ， 周长为 ，则 的图象可能是

ABCD
12．假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域．如图， 是平面 内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：
① 过平面 内的任意一点至少存在一条直线平分区域 ；
② 过平面 内的任意一点至多存在一条直线平分区域 ；
③ 过区域 内的任意一点至少存在两条直线平分区域 ；
④ 过区域 内的某一点可能存在无数条直线平分区域 .
其中结论正确的是
A．①③B．①④C．②③D．③④
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）
13．已知抛物线 上一点 到焦点的距离是2，则点 的坐标是★★★．　
14．在 中，角A、B、C所对的边分别为 、 、 ．若 则 的面积为★★★．　
15．已知三次函数 的图象如图所示，
则 　★★★　．
16．如图是见证魔术师“论证”64=65的神奇．对这个乍看起来颇为神秘的现象，我们运用数学知识不难发现其中的谬误．另外，我们可以更换图中的数据，就能构造出许多更加直观与“令人信服”的“论证”．现请你用数列知识归纳：⑴这些图中的数所构成的数列：　★★★　；⑵写出与这个魔术关联的一个数列递推关系式：　★★★　．

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.)
17．（本小题满分12分）
为了解某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为 ，最后一组数据的频数是6．
（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率，并求出样本容量；
（Ⅱ）从样本中成绩在65～95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65～80分之间的概率．

18．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，锐角 的终边分别与单位圆交于 两点．
（Ⅰ）如果 ，点 的横坐标为 ，求 的值；
（Ⅱ）已知点 ，求函数 的值域．

19．（本小题满分12分）
甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多 ，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：
（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；
（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某
公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公
司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并
局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．

20．（本小题满分12分）
已知四棱锥 的三视图如图所示， 为正三角形．
（Ⅰ）在平面 中作一条与底面 平行的直线,
并说明理由；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的高．Ks5u

21．（本小题满分12分）
如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴相交于两点 （点 在点 的左侧），且 ．
（Ⅰ）求圆 的方程；Ks5u
（Ⅱ）过点 任作一条直线与椭圆 相交于 两点，连接 ，求证： ．

22．（本小题满分14分）Ks5u
已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
（Ⅱ）判断函数 的单调性；
（Ⅲ）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．

2012年福州市高中毕业班综合练习
文科数学试卷参考答案及评分参考

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.B 2. B 3.A 4.A 5. C 6. C 7. D 8. B 9.C 10. D 11. C 12. B
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13. 14. 15. 16. （1） ， ， ；或直接列举出数列各项；（前2项不是主要的）（2） 和 （不唯一，关键要反映“64=65”的一般关系和拼接后以假乱真的原因）
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率 为
， 2分
又设样本容量为 ，则 ，解得， ．4分
（Ⅱ）样本中成绩在65～80分之间的学生有 =2人，记为 ；成绩在80～95分之间的学生 =4人，记为 ，5分
从上述6人中任选2人的所有可能情形有：

，共15种，8分
至少有1人在65～80分之间的可能情形有
共9种，11分
因此，所求的概率 ．12分
18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵　 是锐角， ，
∴　 ．2分
根据三角函数的定义，得 ，
又∵　 是锐角，
∴　 ．4分
∴　 ．6分
（Ⅱ）由题意可知， ， ．
∴　 ，8分
∵　 ，
∴　 ，9分
∴　 ，从而 ，11分
∴　函数 的值域为 ．12分
19．（本小题满分12分）
解：（I）设甲公司第n年市场占有率为 ，依题意， 是以 为首项，以 为公差的等差数列．2分
∴　 ．3分
设乙公司第n年市场占有率为 ，根据图形可得：
5分
．6分
（II）依题意，2012年为第20年，则
， ，9分
∴　 ，即 ，11分
∴　2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面．12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）分别取 中点 ，连结 ，则 即为所求，下证之：1分
∵　 分别为 中点，
∴　 ．2分
∵　 平面 ， 平面 ,…3分
∴　 平面 ．4分
（作法不唯一）
（Ⅱ）由三视图可知， 平面 ，
，四边形 为直角梯形．
过点 作 于 ，则 , ．
∴　 , ，
∴　 ，故 ．6分
∵　 平面 , 平面 ,
∴　 .7分
∵　 ，
∴　 平面 ．8分
（Ⅲ）∵　 为正三角形，
∴　 ．
在 中， ．
∴　 ，10分
（其中 为三棱锥 的高）．
11分
∵　 ，
∴　 ．12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设圆 的半径为 （ ），依题意，圆心坐标为 ．1分
∵　
∴　 ，解得 ．3分
∴　圆 的方程为 ．4分
（Ⅱ）把 代入方程 ，解得 ，或 ，
即点 ， ．5分
⑴　当 轴时，由椭圆对称性可知 ．6分
⑵　当 与 轴不垂直时，可设直线 的方程为 ．
联立方程 ，消去 得， ．7分
设直线 交椭圆 于 两点，则
， ．8分
∵　 ，
∴　
．
∵
，10分
∴　 ，∴ ．11分
综上所述， ．12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当 时， （ ），1分
∴ ，2分
∴ ，所以所求的切线的斜率为3．3分
又∵ ，所以切点为 .
故所求的切线方程为： ．4分
（Ⅱ）∵ ，
∴ 5分
①当 时，∵ ，∴ ；6分
②当 时，
由 ，得 ；由 ，得 ；8分
综上，当 时，函数 在 单调递增；
当 时，函数 在 单调递减，在 上单调递增．9分
（Ⅲ）①当 时，由（Ⅱ）可知，函数 在 单调递增．此时， ，故 在 上为增函数．11分
②当 时，由（Ⅱ）可知，函数 在 上单调递增．
∵　 在 上为增函数，
∴　 ，故 ，解得 ，
∴　 ．13分
综上所述， 的取值范围为 ．14分