2013年高考数学文科押题试卷（附答案）

详细内容

数学（文）试题

本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={ }，下图中阴影部分所表示的集合为
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{1}C．{0，1}
2．复数 ，在复平面上对应的点位于
A ．第一象限 B．第二象限C．第二象限 D．第四象限
3．在用二分法求方程 的一个近似解时，已将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为
A．（1，4，2）B．（1，1，4）C．（1， ）D．
4．已知命题 使得 命题 ，下列命题为真的是
A．p q B．（ C． D．
5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A． B． C． D．

6．设函数 是
A．最小正周期为 的奇函数
B．最小正周期为 的偶函数
C．最 小正 周期为 的奇函数
D．最小正周期为 的偶函数
7．如图是计算函数 的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是
A．y=ln（一x），y=0，y=2x
B．y=0，y=2x，y=In（一x）
C．y=ln（一x），y=2z，y=0
D．y=0，y=ln（一x），y=2x
8．如果数列 是首项为1，公比为
的等比数列，则 等于
A． B．―32
C． D．32
9．在同一坐标系中画出函数 的图象，可能正确的是

10．已知a，b是平面内 两个互相垂直的单位向量，若向量c满足
（a-c）•（b一c）=0，则|c|的最大值是
A．1 B． C．2D．
11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为
A．16 B．24 C．32 D．48

12．过双曲线 的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22 ～24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13． 已知函数 的最大值是 。
14．已知函数 上的奇函数，且 的图象关于直线x=1对称，当 时， ．
15．已知圆 过坐标原点，则圆心C到直线 距离的最小值等于 ．
16． 已知函数 处取得极值，若 的最小值是 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（I）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若a-b=4，△ABC的最 大内角为120°，求△ABC的面积．

18．（本小题满分1 2分）
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中。AB =AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D．
（I）求证：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）在棱1上是否存在一点P，使直线PB1⊥平面AC1D?若存在，找出这个点，并加以证明；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）
某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元
之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组 [13，14）；
第二组[14，15），……，第五组[17，18]。右图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图．
（I）求价格在[16，17）内的地区数，并估计该商品价格的
中位数（精确到0．1）；
（Ⅱ）设m、 n表示某两个地区的零售价格，且已知
m， ，求事件“|m-n|>l”的概率．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C的方程为 左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别 为k1，k2， ，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数 和函数 在区间 上均为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若方程 有唯一解，求实数m的值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
在 ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F． 使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心。
（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；
（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．

23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相 同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
（I）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1,2）,求 的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲
设函数 =
（I ）求函数 的最小值m；
（II）若不等式 恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案
一、选择题（每小题5 分，共60分）
题号123456789101112
答案 AABBDDDDC
二、填空题（每小题5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答题（17）解：（Ⅰ）由正弦定理已知等式可化为
，
所以 ， 3分
所以 ， 所以 .
由正弦定理得， ， 所以a，c，b成等差数列. ………6分
（Ⅱ）由 得 且a为最大边,
由 ，得： ，从而 , …10分
所以 . 12分
（18）（Ⅰ）证明：因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，
所以1⊥平面ABC，所以1⊥AD．又AD⊥C1D，1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面B1B1，
所以AD⊥BC，所以D是BC的中点． 3分
如图，连接A1C，设与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点．
连接DE，则在 中，因为D、E分别是BC、A1C的中点，所以A1B∥DE，又DE在平面AC1D内，A1B不在平面AC1D内，所以A1B∥平面AC1D． ……6分
（Ⅱ）解：存在这样的点P，且点P为1的中点． …7分
下面证明：由（Ⅰ）知AD⊥平面B1B1，故B1P⊥AD．
设PB1与C1D相交于点Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠1D，
因为∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠D1＝90°，所以B1P⊥C1D．因为AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D． …12分
（19）解：（Ⅰ）价格在[16,17?内的频数为1－(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32，
所以价格在[16,17?内的地区数为50×0.32＝16，…2分
设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x-15）×0.38=0.5，解得：x=15≈15.7（元） 5分
（Ⅱ）由直方 图知，价格在 的地区数为 ，记为 、 、 ；价格在 的地区数为 ，记为 若 时，有 ， ， 3种情况；
若 时，有 6种情况；若 分别在 和 内时，
ABC D
xxAxBxCxD
yyAyByCyD
zzAzBzCzD
共有12种情况. 10分所以基本事件总数为21种，
事件“ ”所包含的基本事件个数有12种.
…12分
（20）解：（Ⅰ）在 中,设 , ,由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
得 . …2分又因为 ， ， ，
又 所以 ，所以所求椭圆的方程为 . ……6分
（Ⅱ）显然直线 的斜率 存在，设直线方程为 ， ，
由 得 ，即 ，
，
， …8分
由 得， ，又 ， ，
则 ， ，
， …10分
那么 ，
则直线直线 过定点 . ……12分
（21）解：（Ⅰ）因为 ，
故当 时， ，当 时， ，
要使 在 上递增，必须 ，因为 ，
要使 在 上递增，必须 ，即 ，
由上得出，当 时 ， 在 上均为增函数. ……6分
（Ⅱ）方程 有唯一解 有唯一解，
设 ，所以 （ ）
随 变化如下表：

递减极小值
递增
由于在 上， 只有一个极小值，所以 的最小值为 ，
故当 时，方程 有唯一解． …………12分
（22）证明：（Ⅰ）如图，
=180°-2∠A．因此∠A是锐角，从而 的外心与顶点A在DF的同侧，
∠ DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F，O四点共圆． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，
即O在∠DEF平分线上． …10分
（23）解:（Ⅰ）由 得 ，化为直角坐标方程为 ，即 . ……………4分
（Ⅱ）将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
由 ，故可设 是上述方程的两根，
所以 ，又直线 过点 ，故结合t的几何意义得
=

所以 的最小值为 ……………10分
（24）解：（Ⅰ）
显然，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值 ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 恒成立，
由于 ，
等号当且仅当 时成立，
故 ，解之得 或
所以实数 的取值范围为 或 …… ………10分