2012届高二下学期第三次月考数学（理）试卷及答案
详细内容
2012届高二下学期第三次月考数学（理）试卷
2011.5.30
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）
1、 是虚数单位，复数 的虚部是（ ）
A．0 B． C． D．
2、 把一枚硬币连续抛掷两次，事件 “第一次出现正面”,事件 “第二次出现正面”，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3、已知 的展开式的各项系数和为32，则展开式中 的系数为( )
A.5 B.10 C.20 D.40
4、设函数 ，其中 ， ，则 的展开式中 的系数为( )
A．-360 B.360 C.-60 D.60
5、已知f(x)= •sinx，则f’(1)=( )
A . +cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos1
6、由数字2,3,4,5,6所组成的没有重复数字的四位数中5与6相邻的奇数有（ ）
A.14个 B. 15个 C. 16个 D. 17个
7、 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）
Ａ．25Ｂ．66 9、对于使 恒成立的所有常数 中，我们把 的最小值叫做 的上确界。若 ， 且 ，则 的上确界为（ ） B C 15、用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如右图所示 2012届高二下学期第三次月考数学（理）试卷答题卡 11 12 13 三、解答题（4?12+13+14=75，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分12分）已知复数 ( ∈R), 17、（本小题满分12分）某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 ，求此人试验次数X的分布列和数学期望。 18、（本小题满分12分）设 ， ， ． 19、（本小题满分12分）已知 是正常数， ， ， 21、（本小题满分14分）已知函数 2012届高二下学期第三次月考数学（理）试卷答案 19．解：（1）证一：应用均值不等式，得： 20、解：（1）分别记甲、乙、丙通过审核为事件 .…14分
Ｃ．91Ｄ．120
8、设0<
A． B． C． D．
10、若函数 的图象与 轴所围成的封闭图形的面积为 ，则 的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、不等式 的解集为 ；
12、若 按 的降幂排列的展开式中，第二项小于第三项，则 的取值范围是 .
13、某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有 种．
14、若函数 ，则曲线 在点（ ）处的切线方程为
A
E
D
的花圃，要求同一区域用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花. 记花圃中红色鲜花区域的块数为 ，则 = .
(所有答案写在答题卡上)
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）
题 号12345678910
答 案
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
14 15
试求实数 分别取什么值时， 分别为：（1）实数；（2）纯虚数.
（1）求 ， ， 的值；
（2）归纳 的通项公式，并用数学归纳法证明.
（1）求证： ，指出等号成立的条件；
（2）利用⑴的结论求函数 , 的最小值，并指出此时x的值．
20. (本题满分13分) 甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2011年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75.
（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；
（2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差。
（1）若 在 处有极值，试问是否存在实数 ，使得不等式 对任意 及 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
（2）若 ，设
①求证： ；
②设 ,求证：
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）
BABDB ACDBD
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、 12、 13、35 14、 15、
三、解答题（4?12+13+14=75，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．解 ：（1）当z为实数时，
则有 ，∴
∴a=6，即a=6时，z为实数. -----6分
（2）当z为纯虚数时，有 ,
∴ . ∴不存在实数a使z为纯虚数. -----12分
17、解：试验次数X可取值1、2、3 -----3分
P(x=1)= P(x=2)= P(x=3)= -----9分
分布列为：
X123
P
-----10分 ，-----12分
18．解：（1） ， ， .
（2）根据计算结果，可以归纳出 . ………………………… 5分
①当 时， ，与已知相符，归纳出的公式成立． ……… 6分
②假设当 （ ）时，公式成立，即 ， ……………8分
那么， ．
所以，当 时公式也成立． ………………………… 11分
综上， 对于任何 都成立. …………………………12分
，
故当且仅当 ，即 时上式取等号。
证二：分析法 要证 即证
即证 显然它成立，所以原不等式成立且 时上式取等号-6分
（2）由（1） ．
当且仅当 ，即 时上式取最小值，即 -----12分
………5分
（2）分别记甲、乙、丙获得自主招生入选资格为事件A,B,C,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3--7分
试验次数X可取值0、1、2、3 -----8分
……… 11分 的分布列是
0123
0.3430.4410.1890.027
……… 12分 0.63…… 13分
或 服从二项分布 ， 0.63
21、解：（1）因为 ，
所以 ． 由 ，可得 ， ．
经检验 时，函数 在 处取得极值，所以 ． ………2分
∵ ， ．
时， ……4分
不等式 对任意 及 恒成立，
即 ，
即 对 恒成立，令 ， ，解得 为所求. …7分
（2）①∵
在 上单调递减
②由①得 令 ，得
即