必修5余弦定理同步测试（带答案新人教A版）
详细内容
必修5余弦定理同步测试（带答案新人教A版）
课时目标
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；
2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．
1．正弦定理及其变形
(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R.
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin A＝a2R ，sin B＝b2R，sin C＝c2R.
(4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bos_A.
(2)cos A＝b2＋c2－a22bc.
(3)在△ABC中， c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2
(1)A＋B＋C＝π，A＋B2＝π2－C2.
(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－ cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.
(3)sin A＋B2＝cos C2，cos A＋B2＝sin C2.
一、选择题
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
答案 C
解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即a2＋b2－c22ab＝－12，
∴cos C＝－12，∴∠C＝120 °.
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案 C
解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝ 0，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 B
解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶ sin B∶sin C＝3∶5∶7，
不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，
则cos C＝32＋52－722×3×5＝－12.
∴C＝120°.
∴最小外角为60°.
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 D
解析 ∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝2a，则( )
A．a>b B．a
答案 A
解析 在△ABC中，由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos 120°
＝a2＋b2＋ab.
∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
答案 A
解析 设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
答案 19
解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝19.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
答案 2
∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化简得：0
∴a>2，∴2
答案 12
解析 S△ABC＝12AB•AC•sin A
＝12AB•AC•sin 60°＝23，
∴AB•AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cos A
＝AB2＋AC2－AB•AC＝( AB＋AC)2－3AB•AC，
∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB• AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则△ABC外接圆的面积是________．
答案 13π3
解析 S△ABC＝12bcsin A＝34c＝3，
∴c＝4，
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bos A
＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，
∴a＝13.
∴2R＝asin A＝1332＝2393，
∴R＝393.∴S外接圆＝πR2＝13π3.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sinA－Bsin C.
证明 右边＝sin Acos B－cos Asin Bsin C＝sin Asin C•cos B－sin Bsin C•cos A
＝ac•a2＋c2－b22ac－bc•b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝a2－b2c2＝左边．
所以a2－b2c2＝sinA－Bsin C.
12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB = ，
且 • ＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解 （1）∵? • ＝－21，∴? • =21.?
∴ • = | |•| |•cosB = aosB = 21.?
∴ac=35，∵cosB = ，∴?sinB = .?
∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14.?
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2aos B＝32，
∴b＝42.由正弦定理：csin C＝bsin B.
∴sin C＝cbsin B＝542×45＝22.
∵c
能力提升
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A．0
解析 方法一 (应用正弦定理)
∵ABsin C＝BCsin A，∴1sin C＝2sin A
∴sin C＝12sin A，∵0
方法二 (应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝π6，
∴0
(1)求1tan A＋1tan C的值；
（2）设 • = ，求a+c的值.?
解 (1)由 cos B＝34，得sin B＝1－342＝74.
由b2＝ac及正弦定理得sin2 B＝sin Asin C.
于是1tan A＋1tan C＝cos Asin A＋cos Csin C
＝sin os A＋cos Csin Asin Asin C＝sinA＋Csin2 B
＝sin Bsin2 B＝1sin B＝477.
(2)由 • = 得ca•cosB =
由 cos B＝34，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac•cos B，
得a2＋c2＝b2＋2ac•cos B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
1．解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件应用定理一般解法
一边和两角
(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；
由正弦定理求出b与c.在有
解时只有一解．
两边和夹角
(如a，b，C)余弦定理
正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一
角．在有解时只有一解．
三边
(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出
角C.在有一解时只有一解.
两边和其中一边的对角如
(a，b，A)余弦定理
正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求
c.可有两解、一解或无解.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．