新人教A版必修五第三章不等式综合检测（含解析）
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新人教A版必修五第三章不等式综合检测（含解析）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)
1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
[答案] A
[解析] M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)
＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34＞0，∴M＞N.
2．已知a＞0，b＞0，m＝ab＋ba，n＝a＋b，p＝a＋b，则m、n、p的大小顺序是( )
A．m≥n＞p B．m＞n≥p
C．n＞m＞p D．n≥m＞p
[答案] A
[解析] 取a＝1，b＝4，检验，m＝4.5，n＝3，p＝5，∴m＞n＞p排除C，D；又n2－p2＝a＋b＋2ab－(a＋b)＝2ab＞0，∴n＞p，∴选A.
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5}
D．{x|－1≤x≤5}
[答案] B
[解析] 不等式化为x2－4x－5＞0，
∴(x－5)(x＋1)＞0，∴x＜－1或x＞5.
4．(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为( )
[答案] C
[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A、B，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D，故选C.
5．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是( )
A．a<－12 B．a>1
C．a<－12或a>1 D．－12
[解析] 由题意知，(2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－12或a＞1.
6．设a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的有几个( )
(1)a2＋1＞a；
(2)(a＋1a)(b＋1b)≥4；
(3)(a＋b)(1a＋1b)≥4；
(4)a2＋9＞6a；
(5)a2＋1＋1a2＋1＞2.
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ∵a＞0，b＞0，∴a2＋1≥2a＞a，∴①正确；
(a＋1a)(b＋1b)＝(ab＋1ab)＋(ba＋ab)≥2＋2＝4，等号在a＝b时成立，∴②正确；
(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥4.等号在a＝b时成立，∴③正确；
∵a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，∴a2＋9≥6a.等号在a＝3时成立，∴④错误；
a2＋1＋1a2＋1≥2.等号在a＝0时成立，但a＞0，∴a2＋1＋1a2＋1＞2，∴⑤正确．故正确的不等式有4个．
7．若不等式组x－y≥02x＋y≤2y≥0x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥43 B．0
[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．∴0
8．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，12]成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－52 D．－3
[答案] C
[解析] ∵x∈(0，12]，
∴a≥－x2－1x＝－x－1x.
由于函数y＝x＋1x在(0，12]上单调递减，
∴在x＝12处取得最小值52.
∴－(x＋1x)≤－52.
∴a≥－52.
9．若x、y满足条件x≥yx＋y≤1y≥－1，则z＝－2x＋y的最大值为( )
A．1 B．－12
C．2 D．－5
[答案] A
[解析] 作出可行域如下图，当直线y＝2x＋z平移到经过可行域上点A(1，－1)时，z取最大值，
∴zmax＝1.
10．设a＞b＞0，m＝a－b，n＝a－b，则( )
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵a＞b＞0，∴m＞0，n＞0，且b＜ab.
m2－n2＝(a＋b－2ab)－(a－b)＝2(b－ab)＜0∴m2＜n2，∴m＜n.
11．若实数x、y满足不等式组y≥0x－y≥02x－y－2≥0，则ω＝y－1x＋1的取值范围是( )
A．[－1，13] B．[－12，13]
C．[－12，＋∞) D．[－12，1)
[答案] D
[解析] 所求问题转化为求动点(x，y)与定点(－1,1)连线的斜率问题．不等式组表示的可行域如图所示．目标函数ω＝y－1x＋1表示阴影部分的点与定点(－1,1)的连线的斜率，由图可见，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到，故－12≤w<1.
12．下列函数中，最小值是4的函数是( )
A．y＝x＋4x
B．y＝sinx＋4sinx(0
D．y＝log3x＋logx81
[答案] C
[解析] 当x＜0时，y＝x＋4x≤－4，排除A；
∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜1.y＝sinx＋4sinx≥4.但sinx＝4sinx无解，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在ex＝4ex即ex＝2时成立．∴x＝ln2，D中，x＞0且x≠1，若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，∴排除D.
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，
∴不等式为2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，
∴1
[答案] 1
[解析] 由题意x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴u＝log32 x＋log32 y＝log32 (x•y)＝log32 [16(2x•3y)]
≤log32 [16(2x＋3y2)2]＝1，
等号在2x＝3y＝3，即x＝32，y＝1时成立．
[点评] 也可以消元，用二次函数最值求解．
15．不等式(m＋1)x2＋(m2－2m－3)x－m＋3＞0恒成立，则m的取值范围是__________．
[答案] [－1,1)∪(1,3)
[解析] m＋1＝0时，m＝－1，不等式化为：4＞0恒成立；m＋1≠0时，要使不等式恒成立须m＋1＞0△<0，
即m＋1＞0m2－2m－32－4m＋1－m＋3＜0 ，
∴－1＜m＜3且m≠1.
综上得－1≤m＜3且m≠1.
16．在约束条件x＋4y＜12x－2y＜05x－4y＞0x、y∈N下，目标函数z＝x＋5y的最大值为__________．
[答案] 13
[解析] 可行域如图，A(2,2.5)，B(4,2)．由于x、y∈N故可行域内整点有：(1,1)，(2,2)，(3,2) .
可见经过(3,2)点时z取最大值，zmax＝13.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－k2＝0的两个实根，求x21＋x22的最小值．
[解析] 由题意，得x1＋x2＝2k，
x1x2＝1－k2.
Δ＝4k2－4(1－k2)≥0，
∴k2≥12.
∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝4k2－2(1－k2)
＝6k2－2≥6×12－2＝1.
∴x21＋x22的最小值为1.
18．(本题满分12分)若a＜1，解关于x的不等式axx－2＜1 .
[解析] a＝0时，x∈R且x≠2；
a≠0时，
axx－2＜1⇔a－1x＋2x－2＞0
⇔[(a－1)x＋2](x－2)＞0.
∵a＜1，∴a－1＜0.
∴化为(x－21－a)(x－2)＜0，
当0
∴不等式的解为2
∴不等式解为21－a
19．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解析] (1)依题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0
y＝－60x2＋20x＋200(0
当且仅当y－1.2－1×1 000>00
[解析] 解法一：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥22•xy又x＋2y＋xy＝30，令xy＝t，则22t＋t2≤30，∵t＞0∴0＜t≤32，∴0
因此当x＝6，y＝3时，xy取最大值18.
解法二：由x＋2y＋xy＝30得y＝30－xx＋2，
∵y＞0，x＞0，∴0＜x＜30
∴xy＝30－xxx＋2＝－x2－30xx＋2
＝－xx＋2－32x＋2＋64x＋2
＝－(x－32)－64x＋2＝－[(x＋2)＋64x＋2]＋34
≤－264＋34＝18，等号在x＋2＝64x＋2即x＝6时成立，此时y＝30－66＋2＝3.故当x＝6，y＝3时，xy取最大值18.
21．(本题满分12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] 由m2－2m－3＝0，得m＝－1或m＝3.
当m＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；
当m＝－1时，原不等式化为4x－1<0，
∴x<14，故m＝－1不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题意，得
m2－2m－3<0Δ＝[－m－3]2＋4m2－2m－3<0，
即－1
(1)当m＋1>0时，可画简图：
则m＋1>0f1<0f3>0，即m>－1m<－2m>－89，不等式组无解．
(2)当m＋1<0时，可画简图：
则m＋1<0f1>0f3<0，即m<－1m>－2m<－89.
得－2