高二数学上册课后强化练习题（附答案解析）
详细内容
3.1.3
一、选择题
1．在△ABC中，若0
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．形状不能确定
[答案] B
[解析] ∵0
∴cosA<0，∴A为钝角．
[点评] 也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tanB>0，tanC>0，∴tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanB•tanC>0.
∴B＋C为锐角，从而A为钝角．
2．给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)•f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A．f(x)＝3x
B．f(x)＝sinx
C．f(x)＝log2x
D．f(x)＝tanx
[答案] B
[解析] 对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)•f(y)，
对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
对选项D，满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)，故选B.
3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )
A．1
B．2
C．tan10°
D.3tan20°
[答案] A
[解析] ∵tan(20°＋10°)＝tan20°＋tan10°1－tan20°•tan10°，
∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，
∴原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan20°•tan10°)
＝tan10°•tan20°＋1－tan20°•tan10°＝1.
4．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )
A.π3
B．－2π3
C.π3或－2π3
D．－π3或2π3
[答案] B
[解析] 由韦达定理得
tanα＋tanβ＝－33，tanα•tanβ＝4，
∴tanα<0，tanβ<0，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3
又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tanα<0，tanβ<0
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.
[点评] 由tanα与tanβ的和与积，先判断tanα与tanβ的符号，可进一步限定角α、β的取值范围．请再做下题：
已知tanα、tanβ是方程x2＋3x－2＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值是( )
A．－π6
B．－2π3
C.π6或－5π6
D．－π3或2π3
[答案] A
[解析] 由韦达定理得，tanα＋tanβ＝－3tanα•tanβ＝－2
tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<π2，－π2<β<0，∴－π2<α＋β<π2，
又tan(α＋β)＝－31－(－2)＝－33.∴α＋β＝－π6.
5．设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是( )
A．tanα•tanβ<1
B．sinα＋sinβ<2
C．cosα＋cosβ>1
D.12tan(α＋β)
[解析] 取特例，令α＝β＝π6可得，
12tan(α＋β)＝32，tanα＋β2＝33，
∴12tan(α＋β)>tanα＋β2，∴D不正确．
6.sin6°＋cos15°•sin9°cos6°－sin15°•sin9°的值为( )
A．2＋3
B.2＋32
C．2－3
D.2－32
[答案] C
[解析] sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，
cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3，故选C.
7．已知α、β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，则tanβ的值为( )
A.13
B.139
C.1315
D.59
[答案] B
[解析] ∵α是锐角，cosα＝45，故sinα＝35，tanα＝34
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan(α－β)1＋tanα•tan(α－β)＝139.
8．在△ABC中，若tanB＝cos(C－B)sinA＋sin(C－B)，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[答案] B
[解析] 因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝cos(C－B)sinA＋sin(C－B)
＝cososB＋sinCsinBsin(B＋C)＋sin(C－B)＝cososB＋sinCsinB2cosBsinC，
即sinBcosB＝cosC•cosB＋sinCsinB2cosBsinC，∴cos(B＋C)＝0，
∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，∵0
9．已知sinα＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是( )
A．－7
B．7
C．－34
D.34
[答案] B
[解析] 由sinα＝35，α为第二象限角，得cosα＝－45，
则tanα＝－34.
∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]
＝tan(α＋β)－tanα1＋tan(α＋β)tanα＝1＋341＋－34＝7.
10．若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则1ab＋1bc＋1ca＝( )
A．－1
B．1
C．－3
D.3
[答案] B
[解析] ∵tan(20°＋100°)＝tan20°＋tan100°1－tan20°tan100°，
∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即
tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°•tan60°•tan100°，
∴tan20°＋tan60°＋tan100°tan20°•tan60°•tan100°＝1，
∴1ab＋1bc＋1ca＝1，选B.
二、填空题
11．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．
[答案] 17
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝tan(β－α)－tanα1＋tan(β－α)•tanα＝3－21＋3×2＝17.
12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.
[答案] tan42°
[解析] 原式＝tan60°－tan18°1＋tan60°•tan18°＝tan(60°－18°)＝tan42°.
13．已知tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则tanα＋β2＝________.
[答案] 17
[解析] tanα＋β2＝tanα－β2＋β－α2
＝12＋－131－12×－13＝17.
14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.
[答案] 1
[解析] tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°
＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°
＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°
＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.
三、解答题
15．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．
[分析] 对本题进行观察，发现它有两个特征：一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积，而后半段是这两个角正切函数的和的倍数；另一个特征是这两个角的和(18°－x)＋(12°＋x)＝30°，而30°是特殊角，根据这两个特征，很容易联想到正切的和角公式．
[解析] ∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]
＝tan(18°－x)＋tan(12°＋x)1－tan(18°－x)•tan(12°＋x)＝tan30°＝33
∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)
＝33[1－tan(18°－x)•tan(12°＋x)]
于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3•33[1－tan(18°－x)•tan(12°＋x)]＝1.
16．设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－34.
[解析] 由tanα，tanβ是方程的两根得
Δ＝(2a＋1)2－4a(a＋2)≥0a≠0⇒a≤14且a≠0，
又tanα＋tanβ＝2a＋1atanα•tanβ＝a＋2a，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2a＋1a1－a＋2a
＝－12－a≥－12－14＝－34.
∴tan(α＋β)的最小值是－34.
17．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tanα2•tanβ＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．
[解析] 假设存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tanα2•tanβ＝2－3同时成立．
由(1)得α2＋β＝π3，
所以tanα2＋β＝tanα2＋tanβ1－tanα2tanβ＝3.
又tanα2tanβ＝2－3，所以tanα2＋tanβ＝3－3.
因此tanα2，tanβ可以看成是方程x2－(3－3)x＋2－3＝0的两个根．解得：x1＝1，x2＝2－3.
若tanα2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾．
所以tanα2＝2－3，tanβ＝1，所以α＝30°，β＝45°.
所以满足条件的α、β存在，且α＝30°，β＝45°.